Номер 1.132, страница 30 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.132. Вычислите:

а) $( \frac{3}{4} )^{-2} - ( 1\frac{2}{7} )^{-1};$

б) $( 3^{-1} - 2^{-2} \cdot 8 )^{-1};$

в) $( 2\frac{1}{4} )^{-1} - \frac{2^{-2}}{9};$

г) $( -\frac{1}{3} )^{-2} - 3^{-3} : 9^{-2} + 0,3^0;$

д) $\frac{2^3 - 2^{-3}}{4^3 - 10^0};$

е) $\frac{4^2 \cdot 2^{-2} - 2^2 \cdot 4^{-2}}{2^{-4}}.$

a) Для решения $(\frac{3}{4})^{-2} - (1\frac{2}{7})^{-1}$ воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем, согласно которому дробь переворачивается, а показатель становится положительным $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$. Смешанное число $1\frac{2}{7}$ представим в виде неправильной дроби $\frac{1 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{9}{7}$.

$(\frac{3}{4})^{-2} - (1\frac{2}{7})^{-1} = (\frac{4}{3})^{2} - (\frac{9}{7})^{-1} = \frac{16}{9} - \frac{7}{9} = \frac{16 - 7}{9} = \frac{9}{9} = 1$.

Ответ: 1

б) Для решения $(3^{-1} - 2^{-2} \cdot 8)^{-1}$ сначала выполним действия в скобках, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$(3^{-1} - 2^{-2} \cdot 8)^{-1} = (\frac{1}{3} - \frac{1}{2^2} \cdot 8)^{-1} = (\frac{1}{3} - \frac{1}{4} \cdot 8)^{-1} = (\frac{1}{3} - 2)^{-1} = (\frac{1}{3} - \frac{6}{3})^{-1} = (-\frac{5}{3})^{-1} = -\frac{3}{5}$.

Ответ: $-\frac{3}{5}$

в) Для решения $(2\frac{1}{4})^{-1} - \frac{2^{-2}}{9}$ преобразуем смешанное число в неправильную дробь $2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$ и раскроем степени с отрицательными показателями.

$(2\frac{1}{4})^{-1} - \frac{2^{-2}}{9} = (\frac{9}{4})^{-1} - \frac{1/2^2}{9} = \frac{4}{9} - \frac{1/4}{9} = \frac{4}{9} - \frac{1}{36} = \frac{16}{36} - \frac{1}{36} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$.

Ответ: $\frac{5}{12}$

г) Для решения $(-\frac{1}{3})^{-2} - 3^{-3} : 9^{-2} + 0,3^0$ вычислим каждый член по отдельности. Используем свойства степеней: любое ненулевое число в нулевой степени равно 1 ($a^0=1$), а для удобства деления степеней приведем 9 к основанию 3 ($9 = 3^2$).

$(-\frac{1}{3})^{-2} - 3^{-3} : (3^2)^{-2} + 0,3^0 = (-3)^2 - 3^{-3} : 3^{-4} + 1 = 9 - 3^{-3-(-4)} + 1 = 9 - 3^1 + 1 = 9 - 3 + 1 = 7$.

Ответ: 7

д) Для решения дроби $\frac{2^3 - 2^{-3}}{4^3 - 10^0}$ вычислим отдельно числитель и знаменатель.

Числитель: $2^3 - 2^{-3} = 8 - \frac{1}{2^3} = 8 - \frac{1}{8} = \frac{64}{8} - \frac{1}{8} = \frac{63}{8}$.

Знаменатель: $4^3 - 10^0 = 64 - 1 = 63$.

Результат: $\frac{63/8}{63} = \frac{63}{8 \cdot 63} = \frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{8}$

е) Для решения дроби $\frac{4^2 \cdot 2^{-2} - 2^2 \cdot 4^{-2}}{2^{-4}}$ приведем все степени к одному основанию 2, так как $4 = 2^2$. Это упростит вычисления.

$\frac{(2^2)^2 \cdot 2^{-2} - 2^2 \cdot (2^2)^{-2}}{2^{-4}} = \frac{2^4 \cdot 2^{-2} - 2^2 \cdot 2^{-4}}{2^{-4}} = \frac{2^{4-2} - 2^{2-4}}{2^{-4}} = \frac{2^2 - 2^{-2}}{2^{-4}}$.

Теперь разделим каждый член числителя на знаменатель, используя правило $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{2^2}{2^{-4}} - \frac{2^{-2}}{2^{-4}} = 2^{2-(-4)} - 2^{-2-(-4)} = 2^6 - 2^2 = 64 - 4 = 60$.

Ответ: 60