Номер 1.136, страница 30 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.136*. Найдите частное чисел $a$ и $b$, если $a = 3^6 \cdot (5^{-2})^{-2} \cdot \frac{1}{7^{-2}}$ и $b = 3^7 \cdot 5^5 \cdot \frac{1}{7^{-1}}$.

Найдите частное чисел a и b, если $a = 3^6 \cdot (5^{-2})^2 \cdot \frac{1}{7^{-2}}$ и $b = 3^7 \cdot 5^5 \cdot \frac{1}{7^{-1}}$

Чтобы найти частное чисел $a$ и $b$, то есть отношение $\frac{a}{b}$, необходимо сначала упростить выражения для каждого числа, используя свойства степеней.

1. Упростим выражение для числа a.

Применяем свойства степеней:

• При возведении степени в степень их показатели перемножаются: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.
• Для любого числа $x \neq 0$ и целого $n$ справедливо равенство: $\frac{1}{x^{-n}} = x^n$.

$a = 3^6 \cdot (5^{-2})^2 \cdot \frac{1}{7^{-2}} = 3^6 \cdot 5^{-2 \cdot 2} \cdot 7^2 = 3^6 \cdot 5^{-4} \cdot 7^2$

2. Упростим выражение для числа b.

Используем то же свойство для отрицательной степени:

$b = 3^7 \cdot 5^5 \cdot \frac{1}{7^{-1}} = 3^7 \cdot 5^5 \cdot 7^1 = 3^7 \cdot 5^5 \cdot 7$

3. Найдем частное $\frac{a}{b}$.

Разделим упрощенное выражение для $a$ на упрощенное выражение для $b$:

$\frac{a}{b} = \frac{3^6 \cdot 5^{-4} \cdot 7^2}{3^7 \cdot 5^5 \cdot 7^1}$

При делении степеней с одинаковыми основаниями их показатели вычитаются: $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$.

$\frac{a}{b} = 3^{6-7} \cdot 5^{-4-5} \cdot 7^{2-1} = 3^{-1} \cdot 5^{-9} \cdot 7^1$

Теперь преобразуем результат, используя свойство $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$:

$\frac{a}{b} = \frac{1}{3^1} \cdot \frac{1}{5^9} \cdot 7 = \frac{7}{3 \cdot 5^9}$

Вычислим значение в знаменателе:

$5^9 = 1953125$

$3 \cdot 5^9 = 3 \cdot 1953125 = 5859375$

Таким образом, частное равно:

$\frac{a}{b} = \frac{7}{5859375}$

Полученная дробь является правильной, так как числитель меньше знаменателя. Целая часть такой дроби равна нулю.

Ответ: частное равно $\frac{7}{5859375}$, целая часть равна 0.