Номер 1.126, страница 29 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.126. Найдите значение выражения:

а) $4^3 \cdot (-4)^{-5}$;

б) $(-3)^{-8} : 3^{-6}$;

в) $(-0,1^{-1})^2$;

г) $(-2,25)^{-5} \cdot \left(\left(\frac{2}{3}\right)^2\right)^{-4}$;

д) $(-32)^{-2} : (0,5^{-3})^{-3}$;

е) $(-27 \cdot 3^{-4})^2$;

ж) $\frac{6^{-4} \cdot 6^{-9}}{-6^{-12}}$;

з) $\frac{(5^3)^{-3}}{(-5)^{-2} \cdot 5^{-5}}$.

а) Найдем значение выражения $4^3 \cdot (-4)^{-5}$.
Поскольку показатель степени -5 нечетный, мы можем вынести знак минус из-под знака степени: $(-4)^{-5} = -(4^{-5})$.
Выражение принимает вид: $4^3 \cdot (-(4^{-5})) = - (4^3 \cdot 4^{-5})$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
$- (4^{3+(-5)}) = - (4^{-2})$.
Степень с отрицательным показателем равна обратной величине этой степени с положительным показателем ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$):
$- (4^{-2}) = - \frac{1}{4^2} = -\frac{1}{16}$.

Ответ: $-\frac{1}{16}$.

б) Найдем значение выражения $(-3)^{-8} : 3^{-6}$.
Поскольку показатель степени -8 четный, то отрицательное основание в четной степени дает положительный результат, поэтому $(-3)^{-8} = 3^{-8}$.
Выражение принимает вид: $3^{-8} : 3^{-6}$.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$):
$3^{-8 - (-6)} = 3^{-8+6} = 3^{-2}$.
Используем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.

Ответ: $\frac{1}{9}$.

в) Найдем значение выражения $(-0,1^{-1})^2$.
Сначала вычислим выражение в скобках. Представим 0,1 в виде дроби: $0,1 = \frac{1}{10}$.
Используем свойство $a^{-1} = \frac{1}{a}$:
$-0,1^{-1} = -(\frac{1}{10})^{-1} = -(\frac{10}{1}) = -10$.
Теперь возведем полученный результат в квадрат:
$(-10)^2 = 100$.

Ответ: $100$.

г) Найдем значение выражения $(-2,25)^{-5} \cdot ((\frac{2}{3})^2)^{-4}$.
Преобразуем десятичную дробь -2,25 в обыкновенную: $-2,25 = -2\frac{25}{100} = -2\frac{1}{4} = -\frac{9}{4}$.
Упростим второй множитель, используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$: $((\frac{2}{3})^2)^{-4} = (\frac{2}{3})^{2 \cdot (-4)} = (\frac{2}{3})^{-8}$.
Выражение принимает вид: $(-\frac{9}{4})^{-5} \cdot (\frac{2}{3})^{-8}$.
Заметим, что $\frac{9}{4} = (\frac{3}{2})^2$. Подставим это в выражение:
$(-(\frac{3}{2})^2)^{-5} \cdot (\frac{2}{3})^{-8}$.
Поскольку показатель -5 нечетный, выносим минус: $-((\frac{3}{2})^2)^{-5} \cdot (\frac{2}{3})^{-8} = -(\frac{3}{2})^{-10} \cdot (\frac{2}{3})^{-8}$.
Используем свойство $a^{-n} = (\frac{1}{a})^n$: $(\frac{3}{2})^{-10} = (\frac{2}{3})^{10}$.
Выражение становится: $-(\frac{2}{3})^{10} \cdot (\frac{2}{3})^{-8}$.
Используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$-(\frac{2}{3})^{10+(-8)} = -(\frac{2}{3})^2 = -\frac{4}{9}$.

Ответ: $-\frac{4}{9}$.

д) Найдем значение выражения $(-32)^{-2} : (0,5^{-3})^{-3}$.
Упростим делимое. Так как показатель -2 четный, $(-32)^{-2} = 32^{-2}$. Представим 32 как степень двойки: $32=2^5$. Тогда $32^{-2} = (2^5)^{-2} = 2^{5 \cdot (-2)} = 2^{-10}$.
Упростим делитель. Представим 0,5 как $\frac{1}{2}$ или $2^{-1}$. Тогда $(0,5^{-3})^{-3} = ((2^{-1})^{-3})^{-3} = (2^{(-1) \cdot (-3)})^{-3} = (2^3)^{-3} = 2^{3 \cdot (-3)} = 2^{-9}$.
Выражение принимает вид: $2^{-10} : 2^{-9}$.
Используем свойство $a^m : a^n = a^{m-n}$:
$2^{-10 - (-9)} = 2^{-10+9} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

е) Найдем значение выражения $(-27 \cdot 3^{-4})^2$.
Используем свойство степени произведения $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$: $(-27)^2 \cdot (3^{-4})^2$.
Вычислим каждый множитель:
$(-27)^2 = 27^2 = (3^3)^2 = 3^{3 \cdot 2} = 3^6$.
$(3^{-4})^2 = 3^{-4 \cdot 2} = 3^{-8}$.
Перемножим результаты: $3^6 \cdot 3^{-8}$.
Используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$3^{6+(-8)} = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.

Ответ: $\frac{1}{9}$.

ж) Найдем значение выражения $\frac{6^{-4} \cdot 6^{-9}}{-6^{-12}}$.
Упростим числитель, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$6^{-4} \cdot 6^{-9} = 6^{-4+(-9)} = 6^{-13}$.
Выражение принимает вид: $\frac{6^{-13}}{-6^{-12}} = -\frac{6^{-13}}{6^{-12}}$.
Используем свойство частного степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$- (6^{-13 - (-12)}) = - (6^{-13+12}) = -6^{-1}$.
$-6^{-1} = -\frac{1}{6}$.

Ответ: $-\frac{1}{6}$.

з) Найдем значение выражения $\frac{(5^3)^{-3}}{(-5)^{-2} \cdot 5^{-5}}$.
Упростим числитель, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(5^3)^{-3} = 5^{3 \cdot (-3)} = 5^{-9}$.
Упростим знаменатель. Так как показатель -2 четный, $(-5)^{-2} = 5^{-2}$.
Знаменатель равен $5^{-2} \cdot 5^{-5}$. Используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$5^{-2+(-5)} = 5^{-7}$.
Дробь принимает вид: $\frac{5^{-9}}{5^{-7}}$.
Используем свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$5^{-9 - (-7)} = 5^{-9+7} = 5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$.

Ответ: $\frac{1}{25}$.