Номер 1.119, страница 28 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.119. Выберите свойство степени для упрощения вычислений и примените его:

а) $\frac{24^3}{8^{-3}}$;

б) $\frac{6,5^{-5}}{13^{-5}}$;

в) $2^{-5} \cdot 5^{-5}$;

г) $3^{-8} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{-8}$;

д) $0,125^{-10} \cdot 8^{-10}$;

е) $0,2^{-6} \cdot 0,5^{-6}$.

В этой задаче мы применим свойства степеней для упрощения выражений.

а) Исходное выражение: $\frac{24^3}{8^{-3}}$

Для упрощения воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем в знаменателе: $\frac{1}{a^{-n}} = a^n$.

$\frac{24^3}{8^{-3}} = 24^3 \cdot 8^3$

Далее применим свойство произведения степеней с одинаковым показателем: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.

$24^3 \cdot 8^3 = (24 \cdot 8)^3 = 192^3$

Вычислим значение:

$192^3 = 192 \cdot 192 \cdot 192 = 36864 \cdot 192 = 7077888$

Ответ: 7077888

б) Исходное выражение: $\frac{6,5^{-5}}{13^{-5}}$

Здесь показатели степеней в числителе и знаменателе одинаковы. Применим свойство частного степеней с одинаковым показателем: $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$.

$\frac{6,5^{-5}}{13^{-5}} = (\frac{6,5}{13})^{-5}$

Упростим основание степени, разделив 6,5 на 13:

$\frac{6,5}{13} = \frac{1}{2}$

Выражение принимает вид $(\frac{1}{2})^{-5}$.

Теперь используем свойство степени с отрицательным показателем: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

$(\frac{1}{2})^{-5} = (\frac{2}{1})^5 = 2^5 = 32$

Ответ: 32

в) Исходное выражение: $2^{-5} \cdot 5^{-5}$

Применим свойство произведения степеней с одинаковым показателем: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.

$2^{-5} \cdot 5^{-5} = (2 \cdot 5)^{-5} = 10^{-5}$

Далее используем свойство степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$10^{-5} = \frac{1}{10^5} = \frac{1}{100000}$

Ответ: $\frac{1}{100000}$

г) Исходное выражение: $3^{-8} \cdot (\frac{1}{3})^{-8}$

Используем свойство произведения степеней с одинаковым показателем: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.

$3^{-8} \cdot (\frac{1}{3})^{-8} = (3 \cdot \frac{1}{3})^{-8}$

Упростим основание степени:

$3 \cdot \frac{1}{3} = 1$

Выражение становится равным $1^{-8}$. Любая степень единицы равна единице.

$1^{-8} = \frac{1}{1^8} = 1$

Ответ: 1

д) Исходное выражение: $0,125^{-10} \cdot 8^{-10}$

Воспользуемся свойством произведения степеней с одинаковым показателем: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.

$0,125^{-10} \cdot 8^{-10} = (0,125 \cdot 8)^{-10}$

Упростим основание степени. Десятичная дробь $0,125$ равна обыкновенной дроби $\frac{1}{8}$.

$0,125 \cdot 8 = \frac{1}{8} \cdot 8 = 1$

Получаем выражение $1^{-10}$, которое равно 1.

$1^{-10} = 1$

Ответ: 1

е) Исходное выражение: $0,2^{-6} \cdot 0,5^{-6}$

Применим свойство произведения степеней с одинаковым показателем: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.

$0,2^{-6} \cdot 0,5^{-6} = (0,2 \cdot 0,5)^{-6}$

Упростим основание степени:

$0,2 \cdot 0,5 = 0,1$

Выражение принимает вид $(0,1)^{-6}$. Так как $0,1 = \frac{1}{10}$, получаем $(\frac{1}{10})^{-6}$.

Используем свойство степени с отрицательным показателем $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

$(\frac{1}{10})^{-6} = (\frac{10}{1})^6 = 10^6 = 1000000$

Ответ: 1000000