Номер 1.112, страница 27 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.112. Установите порядок действий и вычислите значение выражения:

a) $9 \cdot 18^{-1}$;

б) $-6 \cdot 2^{-3}$;

в) $3^{-2} - 9^{-1}$;

г) $5^{-1} + 10^{-2}$;

д) $4 + \left(\frac{1}{2}\right)^{-3}$;

е) $19^0 - 0,1^{-3}$.

а) $9 \cdot 18^{-1}$

В этом выражении сначала выполняется возведение в степень, а затем умножение. Порядок действий следующий:

1. Применяем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
   $18^{-1} = \frac{1}{18}$
2. Выполняем умножение:
   $9 \cdot \frac{1}{18} = \frac{9}{18}$
3. Сокращаем полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 9:
   $\frac{9}{18} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

б) $-6 \cdot 2^{-3}$

Порядок действий: сначала возведение в степень, затем умножение.

1. Вычисляем значение степени:
   $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
2. Выполняем умножение:
   $-6 \cdot \frac{1}{8} = -\frac{6}{8}$
3. Сокращаем дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:
   $-\frac{6}{8} = -\frac{3}{4}$

Ответ: $-\frac{3}{4}$

в) $3^{-2} - 9^{-1}$

Порядок действий: сначала вычисляем значения степеней, затем выполняем вычитание.

1. Вычисляем каждую степень отдельно:
   $3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$
   $9^{-1} = \frac{1}{9^1} = \frac{1}{9}$
2. Выполняем вычитание:
   $\frac{1}{9} - \frac{1}{9} = 0$

Ответ: $0$

г) $5^{-1} + 10^{-2}$

Порядок действий: сначала вычисляем значения степеней, затем выполняем сложение.

1. Вычисляем каждую степень отдельно:
   $5^{-1} = \frac{1}{5}$
   $10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100}$
2. Для сложения приводим дроби к общему знаменателю 100:
   $\frac{1}{5} + \frac{1}{100} = \frac{1 \cdot 20}{5 \cdot 20} + \frac{1}{100} = \frac{20}{100} + \frac{1}{100} = \frac{21}{100}$

Ответ: $\frac{21}{100}$

д) $4 + (\frac{1}{2})^{-3}$

Порядок действий: сначала возведение в степень, затем сложение.

1. Применяем свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:
   $(\frac{1}{2})^{-3} = (\frac{2}{1})^3 = 2^3 = 8$
2. Выполняем сложение:
   $4 + 8 = 12$

Ответ: $12$

е) $19^0 - 0,1^{-3}$

Порядок действий: сначала вычисляем значения степеней, затем выполняем вычитание.

1. Любое ненулевое число в нулевой степени равно 1:
   $19^0 = 1$
2. Представляем десятичную дробь $0,1$ в виде обыкновенной дроби $\frac{1}{10}$ и вычисляем степень:
   $0,1^{-3} = (\frac{1}{10})^{-3} = (\frac{10}{1})^3 = 10^3 = 1000$
3. Выполняем вычитание:
   $1 - 1000 = -999$

Ответ: $-999$