Номер 1.110, страница 27 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.110. Расположите числа $7; 7^{-1}; 7^{-4}; 7^{0}$ в порядке возрастания. Можно ли дать ответ, не выполняя вычислений?

Чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, мы можем сравнить их показатели степени, поскольку основание степени (число 7) у всех чисел одинаково и больше 1.

Представим все числа в виде степени с основанием 7:

• $7$ можно записать как $7^1$
• $7^{-1}$
• $7^{-4}$
• $7^0$

Свойство степенной функции $y=a^x$ гласит, что если основание $a > 1$, то функция является возрастающей. Это значит, что большему значению показателя степени $x$ соответствует большее значение самой степени $y$.

В нашем случае основание $a=7$, что больше 1. Сравним показатели степеней: $1, -1, -4, 0$.

Расположим показатели в порядке возрастания: $$ -4 < -1 < 0 < 1 $$

Соответственно, и сами числа (степени) будут расположены в том же порядке возрастания: $$ 7^{-4} < 7^{-1} < 7^{0} < 7^{1} $$

Для проверки можно вычислить значения:

• $7^{-4} = \frac{1}{7^4} = \frac{1}{2401}$
• $7^{-1} = \frac{1}{7}$
• $7^0 = 1$
• $7^1 = 7$

Действительно, $\frac{1}{2401} < \frac{1}{7} < 1 < 7$.

Ответ: $7^{-4}; 7^{-1}; 7^{0}; 7$.

Да, можно. Как показано в основном решении, для ответа на вопрос не требуется выполнять полные вычисления (например, находить десятичное значение дробей $\frac{1}{7}$ и $\frac{1}{2401}$).

Достаточно использовать свойство возрастания степенной функции с основанием больше единицы. Сравнив лишь показатели степеней ($-4, -1, 0, 1$) и расположив их по возрастанию, мы можем однозначно определить порядок самих чисел. Это сравнение целых чисел является тривиальной задачей и не считается "вычислением" в контексте данного вопроса.

Ответ: Да.