Номер 1.111, страница 27 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.111. Расположите числа $0,8^{-2}$; $2^{-5}$; $1$; $(\frac{1}{3})^{-1}$ в порядке убывания.

Чтобы расположить числа $0,8^{-2}; 2^{-5}; 1; (\frac{1}{3})^{-4}$ в порядке убывания, необходимо сначала вычислить значение каждого из них.

$0,8^{-2}$
Сначала представим десятичную дробь 0,8 в виде обыкновенной дроби: $0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.
Теперь воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ или $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:
$0,8^{-2} = (\frac{4}{5})^{-2} = (\frac{5}{4})^2 = \frac{5^2}{4^2} = \frac{25}{16}$.
Это неправильная дробь. Выделим из нее целую часть:
$\frac{25}{16} = 1\frac{9}{16}$.
Ответ: $\textbf{1}\frac{9}{16}$

$2^{-5}$
Используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$.
Ответ: $\frac{1}{32}$

$1$
Это число не требует вычислений.
Ответ: $1$

$(\frac{1}{3})^{-4}$
Используем свойство степени с отрицательным показателем для дроби $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:
$(\frac{1}{3})^{-4} = (\frac{3}{1})^4 = 3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$.
Ответ: $81$

Сравнение чисел и итоговый порядок

Мы получили следующие значения: $1\frac{9}{16}$, $\frac{1}{32}$, $1$, $81$.
Теперь сравним их, чтобы расположить в порядке убывания (от большего к меньшему):
$81 > 1\frac{9}{16} > 1 > \frac{1}{32}$

Следовательно, исходные числа в порядке убывания располагаются так:

Ответ: $(\frac{1}{3})^{-4}; 0,8^{-2}; 1; 2^{-5}.$