Номер 1.115, страница 28 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.115. Вычислите:

а) $-10^{-3}$;

б) $-0,25^{-2}$;

в) $(-3)^{-4}$;

г) $(-0,3)^{-3}$;

д) $\left(-6\frac{2}{7}\right)^{-1}$;

е) $\left(-2\frac{1}{7}\right)^{-2}$.

а) $-10^{-3}$

Для вычисления степени с отрицательным показателем используем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Знак минуса перед числом 10 не относится к основанию степени.

$-10^{-3} = -(\frac{1}{10^3}) = -(\frac{1}{10 \cdot 10 \cdot 10}) = -\frac{1}{1000} = -0,001$

Ответ: $-0,001$

б) $-0,25^{-2}$

Сначала представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$. Знак минуса не относится к основанию степени.

$-0,25^{-2} = -(\frac{1}{4})^{-2}$

Используем свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

$-(\frac{1}{4})^{-2} = -(\frac{4}{1})^2 = -4^2 = -16$

Ответ: $-16$

в) $(-3)^{-4}$

Основание степени - отрицательное число $(-3)$. Используем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$(-3)^{-4} = \frac{1}{(-3)^4}$

Отрицательное число в четной степени дает положительный результат.

$\frac{1}{(-3)^4} = \frac{1}{(-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3)} = \frac{1}{81}$

Ответ: $\frac{1}{81}$

г) $(-0,3)^{-3}$

Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $-0,3 = -\frac{3}{10}$.

$(-0,3)^{-3} = (-\frac{3}{10})^{-3}$

Используем свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$. Отрицательное число в нечетной степени остается отрицательным.

$(-\frac{3}{10})^{-3} = (-\frac{10}{3})^3 = -\frac{10^3}{3^3} = -\frac{1000}{27}$

Выделим целую часть из неправильной дроби: $1000 \div 27 = 37$ (остаток $1$).

$-\frac{1000}{27} = -37\frac{1}{27}$

Ответ: $- \mathbf{37} \frac{1}{27}$

д) $(-6\frac{2}{7})^{-1}$

Сначала переведем смешанное число в неправильную дробь.

$-6\frac{2}{7} = -(\frac{6 \cdot 7 + 2}{7}) = -\frac{44}{7}$

Теперь возведем в степень $-1$. Это эквивалентно нахождению обратного числа.

$(-\frac{44}{7})^{-1} = -\frac{7}{44}$

Ответ: $-\frac{7}{44}$

е) $(-2\frac{1}{7})^{-2}$

Переведем смешанное число в неправильную дробь.

$-2\frac{1}{7} = -(\frac{2 \cdot 7 + 1}{7}) = -\frac{15}{7}$

Теперь возведем в степень $-2$.

$(-\frac{15}{7})^{-2} = (-\frac{7}{15})^2$

Отрицательное число в четной степени дает положительный результат.

$(-\frac{7}{15})^2 = \frac{7^2}{15^2} = \frac{49}{225}$

Ответ: $\frac{49}{225}$