Номер 1.121, страница 28 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.121. Представьте выражение:

а) $ (3^{-2})^3 \cdot 27 $ в виде степени с основанием 3;

б) $ \frac{(8^3)^{-2}}{8^{-8}} $ в виде степени с основанием 0,5.

а) $(3^{-2})^3 \cdot 27$ в виде степени с основанием 3;

Чтобы представить данное выражение в виде степени с основанием 3, выполним следующие действия:

1. Упростим первый множитель $(3^{-2})^3$, используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
   $(3^{-2})^3 = 3^{-2 \cdot 3} = 3^{-6}$
2. Представим второй множитель 27 в виде степени с основанием 3:
   $27 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3$
3. Теперь исходное выражение имеет вид:
   $3^{-6} \cdot 3^3$
4. Применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
   $3^{-6} \cdot 3^3 = 3^{-6 + 3} = 3^{-3}$

Ответ: $3^{-3}$

б) $\frac{(8^3)^{-2} \cdot 64}{8^{-8}}$ в виде степени с основанием 0,5.

Чтобы представить данное выражение в виде степени с основанием 0,5, сначала упростим его, используя свойства степеней с основанием 8, а затем перейдем к основанию 0,5.

1. Упростим числитель дроби. Возведем степень в степень и представим 64 как степень 8:
   $(8^3)^{-2} = 8^{3 \cdot (-2)} = 8^{-6}$
   $64 = 8^2$
   Таким образом, числитель равен:
   $(8^3)^{-2} \cdot 64 = 8^{-6} \cdot 8^2 = 8^{-6+2} = 8^{-4}$
2. Теперь разделим числитель на знаменатель, используя свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
   $\frac{8^{-4}}{8^{-8}} = 8^{-4 - (-8)} = 8^{-4+8} = 8^4$
3. Теперь необходимо представить результат $8^4$ в виде степени с основанием 0,5. Для этого выразим 8 через 0,5.
   Мы знаем, что $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$. Отсюда следует, что $2 = (0,5)^{-1}$.
   Теперь выразим 8:
   $8 = 2^3 = ((0,5)^{-1})^3 = (0,5)^{-1 \cdot 3} = (0,5)^{-3}$
4. Подставим полученное выражение для 8 в наш результат $8^4$:
   $8^4 = ((0,5)^{-3})^4$
5. Используем свойство возведения степени в степень еще раз:
   $((0,5)^{-3})^4 = (0,5)^{-3 \cdot 4} = (0,5)^{-12}$

Ответ: $(0,5)^{-12}$