вопросы, страница 26 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

Используя определение степени с целым показателем, объясните почему:

a) $3^{-3} \neq -3^3$;

б) $(-3)^{-3} \neq 27$;

в) $\left(\frac{1}{3}\right)^{-3} \neq -\frac{1}{27}$.

Для объяснения данных неравенств воспользуемся определением степени с целым отрицательным показателем. Для любого числа $a \ne 0$ и натурального числа $n$ справедливо равенство: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

а) $3^{-3} \ne -3^3$

Вычислим значение левой части неравенства, используя определение:

$3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{1}{27}$

Вычислим значение правой части. Возведение в степень имеет более высокий приоритет, чем унарный минус, поэтому сначала вычисляется степень, а затем применяется знак минуса:

$-3^3 = -(3^3) = -(3 \cdot 3 \cdot 3) = -27$

Поскольку $\frac{1}{27}$ — положительное число, а $-27$ — отрицательное, они не равны.

Ответ: $\frac{1}{27} \ne \textbf{-27}$.

б) $(-3)^{-3} \ne 27$

Вычислим левую часть. В данном случае основание степени равно $-3$:

$(-3)^{-3} = \frac{1}{(-3)^3} = \frac{1}{(-3) \cdot (-3) \cdot (-3)} = \frac{1}{-27} = -\frac{1}{27}$

Правая часть неравенства равна $27$.

Поскольку $-\frac{1}{27}$ — отрицательное число, а $27$ — положительное, они не равны.

Ответ: $-\frac{1}{27} \ne \textbf{27}$.

в) $(\frac{1}{3})^{-3} \ne -\frac{1}{27}$

Вычислим левую часть. Для дроби в отрицательной степени удобно использовать свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:

$(\frac{1}{3})^{-3} = (\frac{3}{1})^3 = 3^3 = 27$

Правая часть неравенства равна $-\frac{1}{27}$.

Поскольку $27$ — положительное целое число, а $-\frac{1}{27}$ — отрицательная дробь, они не равны.

Ответ: $\textbf{27} \ne -\frac{1}{27}$.