Номер 2.82, страница 65 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.82*. Представьте одночлен $45x^7y^{12}$ в виде произведения трех каких-либо одночленов стандартного вида, степень каждого из которых больше 2.

Условие: Представить одночлен $45x^7y^{12}$ в виде произведения трех каких-либо одночленов стандартного вида, степень каждого из которых больше 2.

Для решения этой задачи необходимо разбить исходный одночлен на три множителя-одночлена. Каждый из этих одночленов должен быть стандартного вида, а его степень (сумма показателей степеней всех входящих в него переменных) должна быть строго больше 2.

Задачу можно решить множеством способов. Приведем один из возможных вариантов.

Шаг 1: Разложение компонентов одночлена

Разложим числовой коэффициент и степени переменных на три множителя.

• Коэффициент: $45$ можно представить как $3 \cdot 5 \cdot 3$.
• Переменная x: $x^7$ можно представить как $x^2 \cdot x^2 \cdot x^3$ (поскольку $2+2+3=7$).
• Переменная y: $y^{12}$ можно представить как $y^4 \cdot y^4 \cdot y^4$ (поскольку $4+4+4=12$).

Шаг 2: Формирование одночленов и проверка их степени

Теперь сгруппируем полученные множители в три одночлена и для каждого проверим выполнение условия о степени.

Первый одночлен
Соберем одночлен из первых множителей каждого разложения: $3$, $x^2$ и $y^4$. Получаем одночлен: $3x^2y^4$.
Степень этого одночлена равна сумме степеней его переменных: $2 + 4 = 6$. Так как $6 > 2$, условие выполняется.
Ответ: $3x^2y^4$.

Второй одночлен
Соберем одночлен из вторых множителей: $5$, $x^2$ и $y^4$. Получаем одночлен: $5x^2y^4$.
Степень этого одночлена: $2 + 4 = 6$. Так как $6 > 2$, условие выполняется.
Ответ: $5x^2y^4$.

Третий одночлен
Соберем одночлен из третьих множителей: $3$, $x^3$ и $y^4$. Получаем одночлен: $3x^3y^4$.
Степень этого одночлена: $3 + 4 = 7$. Так как $7 > 2$, условие выполняется.
Ответ: $3x^3y^4$.

Шаг 3: Итоговая проверка

Чтобы убедиться в правильности решения, перемножим полученные одночлены: $$ (3x^2y^4) \cdot (5x^2y^4) \cdot (3x^3y^4) = (3 \cdot 5 \cdot 3) \cdot (x^{2+2+3}) \cdot (y^{4+4+4}) = 45x^7y^{12} $$ Результат совпадает с исходным одночленом. Все условия задачи выполнены.