Номер 2.78, страница 65 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.78. Какие действия необходимо выполнить, чтобы привести одночлен к стандартному виду? Приведите одночлен к стандартному виду:

а) $2a^6(-0.5a^2);$

б) $-xy \cdot 2y^2x^4;$

в) $-12a(-\frac{5}{6}ba^2);$

г) $\frac{3}{7}xy^2(-0.7x^5y).$

Назовите коэффициент и степень каждого из полученных одночленов.

Для того чтобы привести одночлен к стандартному виду, необходимо выполнить следующие действия:

1. Перемножить все числовые множители и поставить результат (коэффициент) на первое место.
2. Перемножить все степени с одинаковыми буквенными основаниями, сложив их показатели.
3. Записать буквенные множители в алфавитном порядке с их новыми показателями степени.

Приведем данные одночлены к стандартному виду, найдем их коэффициент и степень.

а) $2a^6(-0,5a^2)$
Перемножим коэффициенты $2$ и $-0,5$ и степени переменной $a$:
$2a^6(-0,5a^2) = (2 \cdot (-0,5)) \cdot (a^6 \cdot a^2) = -1 \cdot a^{6+2} = -a^8$
Коэффициент равен $-1$. Степень одночлена равна показателю степени переменной, то есть $8$.
Ответ: Стандартный вид: $-a^8$, коэффициент: -1, степень: 8.

б) $-xy \cdot 2y^2x^4$
Сгруппируем и перемножим коэффициенты (здесь это $-1$ и $2$), степени переменной $x$ и степени переменной $y$:
$-xy \cdot 2y^2x^4 = (-1 \cdot 2) \cdot (x^1 \cdot x^4) \cdot (y^1 \cdot y^2) = -2 \cdot x^{1+4} \cdot y^{1+2} = -2x^5y^3$
Коэффициент равен $-2$. Степень одночлена — это сумма степеней всех переменных: $5 + 3 = 8$.
Ответ: Стандартный вид: $-2x^5y^3$, коэффициент: -2, степень: 8.

в) $-12a(-\frac{5}{6}ba^2)$
Перемножим числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями, а переменные запишем в алфавитном порядке:
$-12a(-\frac{5}{6}ba^2) = (-12 \cdot (-\frac{5}{6})) \cdot (a^1 \cdot a^2) \cdot b = \frac{12 \cdot 5}{6} \cdot a^{1+2} \cdot b = 10a^3b$
Коэффициент равен $10$. Степень одночлена: $3 + 1 = 4$.
Ответ: Стандартный вид: $10a^3b$, коэффициент: 10, степень: 4.

г) $\frac{3}{7}xy^2(-0,7x^5y)$
Представим десятичную дробь $-0,7$ в виде обыкновенной: $-0,7 = -\frac{7}{10}$. Затем выполним умножение:
$\frac{3}{7}xy^2(-0,7x^5y) = (\frac{3}{7} \cdot (-\frac{7}{10})) \cdot (x^1 \cdot x^5) \cdot (y^2 \cdot y^1) = -\frac{3 \cdot 7}{7 \cdot 10} \cdot x^{1+5} \cdot y^{2+1} = -\frac{3}{10}x^6y^3$
Результат можно записать в виде десятичной дроби: $-0,3x^6y^3$.
Коэффициент равен $-0,3$ (или $-\frac{3}{10}$). Степень одночлена: $6 + 3 = 9$.
Ответ: Стандартный вид: $-0,3x^6y^3$, коэффициент: -0,3, степень: 9.