вопросы, страница 100 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. Найдите ошибку в утверждении: «Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно умножить члены одного многочлена на члены другого многочлена и полученные произведения сложить».

2. Возможно ли при умножении двух двучленов получить многочлен, содержащий:

а) четыре члена;

б) три члена;

в) пять членов?

1. Найдите ошибку в утверждении: «Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно умножить члены одного многочлена на члены другого многочлена и полученные произведения сложить».

В приведенном утверждении пропущено ключевое слово «каждый». Правило умножения многочленов звучит так: «Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить».

Без слова «каждый» правило становится неточным и может быть понято неверно. Например, следуя утверждению из задачи, для многочленов $(a+b)$ и $(c+d)$ можно было бы посчитать только $a \cdot c + b \cdot d$, что не является их полным произведением. Правильное умножение подразумевает перемножение всех возможных пар членов: $(a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd$.

Ответ: В утверждении пропущено слово «каждый». Правильная формулировка: «нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена».

2. Возможно ли при умножении двух двучленов получить многочлен, содержащий: а) четыре члена; б) три члена; в) пять членов?

Общий вид умножения двух двучленов $(a+b)$ и $(c+d)$ выглядит так:
$(a+b)(c+d) = a \cdot c + a \cdot d + b \cdot c + b \cdot d$
В результате всегда получается сумма четырех слагаемых (одночленов). В зависимости от того, есть ли среди них подобные члены, итоговое количество членов в многочлене может быть разным.

а) четыре члена

Да, возможно. Это происходит в том случае, когда после раскрытия скобок в полученном многочлене нет подобных членов, которые можно было бы сложить.
Например, умножим двучлен $(x+y)$ на двучлен $(a+b)$:
$(x+y)(a+b) = xa + xb + ya + yb$
В полученном многочлене $xa + xb + ya + yb$ все четыре члена не являются подобными, поэтому их количество равно четырем.

Ответ: Да, возможно.

б) три члена

Да, возможно. Это происходит, когда в результате умножения два из четырех полученных членов являются подобными, и их сумма не равна нулю.
Например, умножим двучлен $(x+2)$ на двучлен $(x+3)$:
$(x+2)(x+3) = x \cdot x + x \cdot 3 + 2 \cdot x + 2 \cdot 3 = x^2 + 3x + 2x + 6$
Члены $3x$ и $2x$ являются подобными. Приведем подобные слагаемые:
$x^2 + (3+2)x + 6 = x^2 + 5x + 6$
В результате получился многочлен, состоящий из трех членов (трехчлен).

Ответ: Да, возможно.

в) пять членов

Нет, невозможно. При умножении двучлена (2 члена) на двучлен (2 члена) мы всегда получаем сумму $2 \times 2 = 4$ произведений.
$(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$
Максимальное количество членов, которое можно получить до приведения подобных, равно четырем. После приведения подобных слагаемых их количество может только уменьшиться (если какие-то члены сложатся) или остаться равным четырем. Получить больше четырех членов при умножении двух двучленов нельзя.

Ответ: Нет, невозможно.