Номер 2.228, страница 100 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.228. Выполните умножение многочленов:

a) $ (a + m)(b + n) $;

Б) $ (x + 1)(x + 4) $;

В) $ (3 + b)(b + 4) $;

Г) $ (a - c)(b + d) $;

Д) $ (x - y)(x + y) $;

е) $ (b - 3)(b + 1) $;

Ж) $ (a - 2)(a - 5) $;

З) $ (-x + 3)(x - 2) $.

Для умножения одного многочлена на другой необходимо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и полученные произведения сложить. Это правило основано на распределительном законе умножения.

а) Умножим каждый член многочлена $(a + m)$ на каждый член многочлена $(b + n)$:
$(a + m)(b + n) = a \cdot b + a \cdot n + m \cdot b + m \cdot n = ab + an + mb + mn$
В полученном выражении нет подобных слагаемых, поэтому упрощение невозможно.
Ответ: $ab + an + mb + mn$

б) Умножим $(x + 1)$ на $(x + 4)$:
$(x + 1)(x + 4) = x \cdot x + x \cdot 4 + 1 \cdot x + 1 \cdot 4 = x^2 + 4x + x + 4$
Приведем подобные слагаемые ($4x$ и $x$):
$x^2 + (4x + x) + 4 = x^2 + 5x + 4$
Ответ: $x^2 + 5x + 4$

в) Умножим $(3 + b)$ на $(b + 4)$:
$(3 + b)(b + 4) = 3 \cdot b + 3 \cdot 4 + b \cdot b + b \cdot 4 = 3b + 12 + b^2 + 4b$
Приведем подобные слагаемые ($3b$ и $4b$) и запишем в стандартном виде:
$b^2 + (3b + 4b) + 12 = b^2 + 7b + 12$
Ответ: $b^2 + 7b + 12$

г) Умножим $(a - c)$ на $(b + d)$:
$(a - c)(b + d) = a \cdot b + a \cdot d + (-c) \cdot b + (-c) \cdot d = ab + ad - cb - cd$
В полученном выражении нет подобных слагаемых.
Ответ: $ab + ad - bc - cd$

д) Умножим $(x - y)$ на $(x + y)$. Это формула сокращенного умножения "разность квадратов": $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$.
$(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$
Проверим, выполнив умножение по общему правилу:
$(x - y)(x + y) = x \cdot x + x \cdot y - y \cdot x - y \cdot y = x^2 + xy - xy - y^2 = x^2 - y^2$
Ответ: $x^2 - y^2$

е) Умножим $(b - 3)$ на $(b + 1)$:
$(b - 3)(b + 1) = b \cdot b + b \cdot 1 - 3 \cdot b - 3 \cdot 1 = b^2 + b - 3b - 3$
Приведем подобные слагаемые ($b$ и $-3b$):
$b^2 + (b - 3b) - 3 = b^2 - 2b - 3$
Ответ: $b^2 - 2b - 3$

ж) Умножим $(a - 2)$ на $(a - 5)$:
$(a - 2)(a - 5) = a \cdot a + a \cdot (-5) - 2 \cdot a - 2 \cdot (-5) = a^2 - 5a - 2a + 10$
Приведем подобные слагаемые ($-5a$ и $-2a$):
$a^2 + (-5a - 2a) + 10 = a^2 - 7a + 10$
Ответ: $a^2 - 7a + 10$

з) Умножим $(-x + 3)$ на $(x - 2)$:
$(-x + 3)(x - 2) = -x \cdot x -x \cdot (-2) + 3 \cdot x + 3 \cdot (-2) = -x^2 + 2x + 3x - 6$
Приведем подобные слагаемые ($2x$ и $3x$):
$-x^2 + (2x + 3x) - 6 = -x^2 + 5x - 6$
Ответ: $-x^2 + 5x - 6$