Номер 2.235, страница 101 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.235. Докажите, что значение выражения $a^6-(a^3-5)(a^3+5)$ не зависит от значения переменной.

Докажите, что значение выражения $a^6 - (a^3 - 5)(a^3 + 5)$ не зависит от значения переменной.

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной $a$, нужно это выражение упростить. Если в результате упрощения мы получим константу (число без переменной), то утверждение будет доказано.

Исходное выражение:$$a^6 - (a^3 - 5)(a^3 + 5)$$

Заметим, что часть выражения $(a^3 - 5)(a^3 + 5)$ представляет собой произведение разности и суммы двух одинаковых членов. Для таких выражений применяется формула сокращенного умножения — разность квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

В нашем случае $x = a^3$ и $y = 5$. Применим формулу:

$$(a^3 - 5)(a^3 + 5) = (a^3)^2 - 5^2$$

Теперь упростим полученные члены:

1. По свойству степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем: $(a^3)^2 = a^{3 \cdot 2} = a^6$.

2. Возводим в квадрат число 5: $5^2 = 25$.

Таким образом, $(a^3 - 5)(a^3 + 5) = a^6 - 25$.

Подставим полученный результат обратно в исходное выражение:

$$a^6 - (a^6 - 25)$$

Раскроем скобки. Так как перед скобкой стоит знак минус, знаки всех членов внутри скобки меняются на противоположные:

$$a^6 - a^6 + 25$$

Приведем подобные слагаемые:

$$(a^6 - a^6) + 25 = 0 + 25 = 25$$

В результате всех преобразований мы получили число 25. Это значение является константой и не содержит переменную $a$. Следовательно, значение исходного выражения не зависит от значения переменной $a$ и всегда равно 25.

Ответ: 25