Номер 2.236, страница 101 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

а) $(x^2 - 2x - 1)(x - 3)$

Для выполнения умножения многочленов, необходимо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и сложить полученные произведения:

$(x^2 - 2x - 1)(x - 3) = x^2 \cdot (x - 3) - 2x \cdot (x - 3) - 1 \cdot (x - 3)$

$= (x^2 \cdot x - x^2 \cdot 3) - (2x \cdot x - 2x \cdot 3) - (1 \cdot x - 1 \cdot 3)$

$= x^3 - 3x^2 - 2x^2 + 6x - x + 3$

Теперь приведем подобные слагаемые:

$= x^3 + (-3 - 2)x^2 + (6 - 1)x + 3$

$= x^3 - 5x^2 + 5x + 3$

Ответ: $x^3 - 5x^2 + 5x + 3$

б) $(a - 1)(a^2 + 2a - 3)$

Умножим каждый член первого многочлена на второй многочлен:

$(a - 1)(a^2 + 2a - 3) = a \cdot (a^2 + 2a - 3) - 1 \cdot (a^2 + 2a - 3)$

$= (a^3 + 2a^2 - 3a) - (a^2 + 2a - 3)$

$= a^3 + 2a^2 - 3a - a^2 - 2a + 3$

Приведем подобные слагаемые:

$= a^3 + (2 - 1)a^2 + (-3 - 2)a + 3$

$= a^3 + a^2 - 5a + 3$

Ответ: $a^3 + a^2 - 5a + 3$

в) $(4n^2 - 3n - 1)(2n + 3)$

Умножим каждый член первого многочлена на второй многочлен:

$(4n^2 - 3n - 1)(2n + 3) = 4n^2 \cdot (2n + 3) - 3n \cdot (2n + 3) - 1 \cdot (2n + 3)$

$= (8n^3 + 12n^2) - (6n^2 + 9n) - (2n + 3)$

$= 8n^3 + 12n^2 - 6n^2 - 9n - 2n - 3$

Приведем подобные слагаемые:

$= 8n^3 + (12 - 6)n^2 + (-9 - 2)n - 3$

$= 8n^3 + 6n^2 - 11n - 3$

Ответ: $8n^3 + 6n^2 - 11n - 3$

г) $(5b + 4)(b^2 - b - 1)$

Умножим каждый член первого многочлена на второй многочлен:

$(5b + 4)(b^2 - b - 1) = 5b \cdot (b^2 - b - 1) + 4 \cdot (b^2 - b - 1)$

$= (5b^3 - 5b^2 - 5b) + (4b^2 - 4b - 4)$

$= 5b^3 - 5b^2 + 4b^2 - 5b - 4b - 4$

Приведем подобные слагаемые:

$= 5b^3 + (-5 + 4)b^2 + (-5 - 4)b - 4$

$= 5b^3 - b^2 - 9b - 4$

Ответ: $5b^3 - b^2 - 9b - 4$

Можно ли определить степень результата, не выполняя умножения?

Да, можно. Степень многочлена-произведения равна сумме степеней многочленов-сомножителей.

Степень многочлена определяется наивысшей степенью его членов. При умножении двух многочленов член с наивысшей степенью в результирующем многочлене получается путем умножения членов с наивысшими степенями из исходных многочленов.

• а) $(x^2 - 2x - 1)(x - 3)$: степени 2 и 1. Степень результата $2 + 1 = 3$.
• б) $(a - 1)(a^2 + 2a - 3)$: степени 1 и 2. Степень результата $1 + 2 = 3$.
• в) $(4n^2 - 3n - 1)(2n + 3)$: степени 2 и 1. Степень результата $2 + 1 = 3$.
• г) $(5b + 4)(b^2 - b - 1)$: степени 1 и 2. Степень результата $1 + 2 = 3$.

Ответ: Да, можно. Для этого нужно сложить наибольшие степени многочленов-сомножителей.