Номер 2.14, страница 50 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.14. Найдите значение выражения $0,25m - n^2$ при:

a) $m = 8, n = -5;$

б) $m = 10, n = \frac{1}{2}$.

При каких не равных между собой $m$ и $n$ значение данного выражения равно нулю?

а) Чтобы найти значение выражения $0,25m - n^2$ при $m = 8$ и $n = -5$, подставим эти значения в выражение:
$0,25 \cdot 8 - (-5)^2 = 2 - 25 = -23$
Ответ: -23.

б) Чтобы найти значение выражения $0,25m - n^2$ при $m = 10$ и $n = \frac{1}{2}$, подставим эти значения в выражение.
Удобнее представить десятичную дробь $0,25$ в виде обыкновенной: $0,25 = \frac{1}{4}$.
$\frac{1}{4} \cdot 10 - (\frac{1}{2})^2 = \frac{10}{4} - \frac{1}{4} = \frac{9}{4}$
Преобразуем неправильную дробь $\frac{9}{4}$ в смешанное число: $\frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$.
Ответ: 2$\frac{1}{4}$.

При каких не равных между собой m и n значение данного выражения равно нулю?
Чтобы найти значения $m$ и $n$, при которых выражение равно нулю, составим и решим уравнение:
$0,25m - n^2 = 0$
Выразим $m$ через $n$:
$0,25m = n^2$
$m = \frac{n^2}{0,25}$
$m = 4n^2$
Это соотношение, при котором выражение обращается в ноль.
Теперь используем дополнительное условие, что $m$ и $n$ не равны между собой: $m \neq n$.
Подставим найденное выражение для $m$ в это неравенство:
$4n^2 \neq n$
$4n^2 - n \neq 0$
Вынесем общий множитель $n$ за скобки:
$n(4n - 1) \neq 0$
Произведение не равно нулю, когда каждый из множителей не равен нулю, то есть:
$n \neq 0$ и $4n - 1 \neq 0$
Решая второе неравенство, получаем $4n \neq 1$, откуда $n \neq \frac{1}{4}$.
Таким образом, выражение обращается в ноль при $m = 4n^2$, при условии, что $n$ не принимает значения $0$ и $\frac{1}{4}$ (потому что в этих случаях $m=n$).
Ответ: Значение выражения равно нулю, если $m = 4n^2$, где $n$ - любое действительное число, кроме $0$ и $\frac{1}{4}$.