Номер 2.20, страница 51 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.20. Придумайте пример выражения с переменной, областью определения которого являются:

а) все числа;

б) все числа, кроме $-5$.

Область определения выражения включает все действительные числа в том случае, если в выражении отсутствуют операции, которые могут накладывать ограничения на значения переменной. К таким операциям относятся, например, деление на выражение с переменной или извлечение корня четной степени из выражения, которое может быть отрицательным.

Этому условию удовлетворяют все многочлены (целые рациональные выражения). В них нет деления на переменную или извлечения корней. В качестве примера можно взять любой многочлен.

Ответ: $x^2 - 3x + 5$

Если область определения выражения — это все числа, кроме $x = -5$, это означает, что именно при подстановке этого значения переменной выражение теряет смысл. В школьном курсе алгебры это, как правило, происходит из-за деления на ноль.

Следовательно, нам необходимо составить дробное выражение, знаменатель которого обращается в ноль при $x = -5$. Этому условию удовлетворяет многочлен $x + 5$, поскольку при $x=-5$ получаем $-5 + 5 = 0$.

Таким образом, выражение должно иметь вид дроби со знаменателем $x+5$. Чтобы пример соответствовал понятию неправильной дроби (в алгебраическом смысле), степень многочлена в числителе должна быть не меньше степени многочлена в знаменателе. Возьмем, к примеру, выражение $\frac{3x}{x+5}$.

У такой дроби можно выделить целую часть. Для этого в числителе искусственно выделим выражение, стоящее в знаменателе: $$ \frac{3x}{x+5} = \frac{3x + 15 - 15}{x+5} = \frac{3(x+5) - 15}{x+5} = \frac{3(x+5)}{x+5} - \frac{15}{x+5} = 3 - \frac{15}{x+5} $$ В данном случае целая часть равна 3.

Ответ: $\frac{3x}{x+5}$