Номер 3.166, страница 186 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

Даны неравенства: $3 < n < 5$ и $2 < m < 7$.

Требуется оценить значения выражений:

Для нахождения оценки суммы $n+m$, необходимо сложить почленно данные неравенства. Складываем левые части с левыми, а правые — с правыми.

$ \begin{array}{c} 3 < n < 5 \\ + \\ 2 < m < 7 \\ \hline 3 + 2 < n + m < 5 + 7 \end{array} $

Выполняем сложение:

$5 < n + m < 12$

Ответ: $5 < n + m < 12$.

Для оценки разности $m-n$ представим её как сумму $m + (-n)$.

Сначала найдём оценку для слагаемого $-n$. Для этого умножим все части неравенства $3 < n < 5$ на $-1$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$-1 \cdot 3 > -1 \cdot n > -1 \cdot 5$

$-3 > -n > -5$

Запишем это неравенство в стандартной форме (от меньшего числа к большему):

$-5 < -n < -3$

Теперь сложим почленно неравенства для $m$ и $-n$:

$ \begin{array}{c} 2 < m < 7 \\ + \\ -5 < -n < -3 \\ \hline 2 + (-5) < m + (-n) < 7 + (-3) \end{array} $

Выполняем сложение:

$-3 < m - n < 4$

Ответ: $-3 < m - n < 4$.

Поскольку все числа в границах неравенств для $n$ и $m$ положительные, мы можем почленно их перемножить для оценки произведения $nm$.

$ \begin{array}{c} 3 < n < 5 \\ \times \\ 2 < m < 7 \\ \hline 3 \cdot 2 < n \cdot m < 5 \cdot 7 \end{array} $

Выполняем умножение:

$6 < nm < 35$

Ответ: $6 < nm < 35$.

Для оценки частного $\frac{m}{n}$ представим его как произведение $m \cdot \frac{1}{n}$.

Сначала найдём оценку для $\frac{1}{n}$. Так как $3 < n < 5$ и все части неравенства положительны, при нахождении обратной величины знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{1}{3} > \frac{1}{n} > \frac{1}{5}$

Запишем это неравенство в стандартной форме:

$\frac{1}{5} < \frac{1}{n} < \frac{1}{3}$

Теперь перемножим почленно неравенства для $m$ и $\frac{1}{n}$ (все части положительны):

$ \begin{array}{c} 2 < m < 7 \\ \times \\ \frac{1}{5} < \frac{1}{n} < \frac{1}{3} \\ \hline 2 \cdot \frac{1}{5} < m \cdot \frac{1}{n} < 7 \cdot \frac{1}{3} \end{array} $

Выполняем умножение и получаем неравенство: $\frac{2}{5} < \frac{m}{n} < \frac{7}{3}$.

Правая часть, $\frac{7}{3}$, является неправильной дробью. Выделим из неё целую часть: $\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{5} < \frac{m}{n} < 2\frac{1}{3}$.