Номер 3.160, страница 186 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.160. Длина прямоугольника больше 10 см, а ширина в 2,5 раза меньше длины. Докажите, что периметр прямоугольника больше 28 см.

Условие: Длина прямоугольника больше 10 см, а ширина в 2,5 раза меньше длины. Докажите, что периметр прямоугольника больше 28 см.

Доказательство:

1. Введение обозначений и запись условий

Пусть $L$ см — длина прямоугольника, а $W$ см — его ширина. Периметр прямоугольника обозначим как $P$ см.
Исходя из условия задачи, мы можем записать следующие соотношения:

• Длина больше 10 см: $L > 10$.
• Ширина в 2,5 раза меньше длины: $W = \frac{L}{2.5}$.

Нам необходимо доказать, что периметр $P$ больше 28 см, то есть $P > 28$.
Ответ: Условия задачи записаны в виде математических выражений: $L > 10$ и $W = \frac{L}{2.5}$.

2. Выражение периметра через длину

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(L + W)$.
Подставим в эту формулу выражение для ширины $W$. Для удобства вычислений представим десятичную дробь 2,5 в виде обыкновенной неправильной дроби: $2.5 = 2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.
Тогда выражение для ширины принимает вид: $W = \frac{L}{\frac{5}{2}} = L \cdot \frac{2}{5} = \frac{2L}{5}$.
Теперь подставим полученное выражение для ширины в формулу периметра: $P = 2(L + \frac{2L}{5})$
Приведем слагаемые в скобках к общему знаменателю: $P = 2(\frac{5L}{5} + \frac{2L}{5}) = 2(\frac{5L + 2L}{5}) = 2(\frac{7L}{5}) = \frac{14L}{5}$.
Мы получили выражение для периметра через длину. Отметим, что коэффициент $\frac{14}{5}$ является неправильной дробью. Выделим целую часть: $\frac{14}{5} = 2\frac{4}{5}$. Таким образом, $P = 2\frac{4}{5}L$.

Ответ: Периметр прямоугольника выражается через его длину формулой $P = \frac{14}{5}L$.

3. Оценка значения периметра

Из условия мы знаем, что $L > 10$. Используем это неравенство и выведенную формулу для периметра $P = \frac{14}{5}L$.
Умножим обе части неравенства $L > 10$ на положительное число $\frac{14}{5}$. Так как множитель положителен, знак неравенства сохранится:
$\frac{14}{5} \cdot L > \frac{14}{5} \cdot 10$
$P > \frac{14 \cdot 10}{5}$
Сократим дробь в правой части: $P > 14 \cdot 2$
$P > 28$
Таким образом, мы строго доказали, что периметр данного прямоугольника всегда будет больше 28 см.

Ответ: Утверждение доказано. Поскольку $L > 10$ см, периметр $P = \frac{14}{5}L$ всегда будет больше 28 см.