Номер 3.159, страница 185 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.159. Пусть $a > 3$ и $b > 5$. Докажите, что:

а) $a+b > 8$;

б) $ab > 15;$

в) $2a+b > 11;$

г) $4ab > 60;$

д) $a^2+b^2 > 34$.

а) $a + b > 8$

По условию нам даны два неравенства: $a > 3$ и $b > 5$.
Согласно свойству числовых неравенств, мы можем почленно складывать неравенства одного знака. Сложим левые и правые части данных неравенств:
$a + b > 3 + 5$
$a + b > 8$
Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

б) $ab > 15$

Используем те же исходные неравенства: $a > 3$ и $b > 5$.
Так как все части этих неравенств являются положительными числами ($a>3>0$ и $b>5>0$), мы можем их почленно перемножить, сохранив знак неравенства.
$a \cdot b > 3 \cdot 5$
$ab > 15$
Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

в) $2a + b > 11$

Начнем с неравенства $a > 3$. Умножим обе части этого неравенства на положительное число 2. Знак неравенства при этом не изменится:
$2 \cdot a > 2 \cdot 3$
$2a > 6$
Теперь у нас есть два неравенства для почленного сложения: $2a > 6$ и $b > 5$.
$2a + b > 6 + 5$
$2a + b > 11$
Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

г) $4ab > 60$

Из пункта (б) мы уже доказали, что $ab > 15$.
Умножим обе части этого неравенства на положительное число 4. Знак неравенства сохранится:
$4 \cdot (ab) > 4 \cdot 15$
$4ab > 60$
Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

д) $a^2 + b^2 > 34$

Рассмотрим исходные неравенства $a > 3$ и $b > 5$.
Так как обе части неравенства $a > 3$ положительны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:
$a^2 > 3^2$
$a^2 > 9$
Аналогично, так как обе части неравенства $b > 5$ положительны, возведем их в квадрат:
$b^2 > 5^2$
$b^2 > 25$
Теперь сложим полученные неравенства $a^2 > 9$ и $b^2 > 25$ почленно:
$a^2 + b^2 > 9 + 25$
$a^2 + b^2 > 34$
Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.