Номер 3.155, страница 185 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.155. Известно, что $a < b, c > b$. Сравните значения выражений $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}$ и $\frac{1}{c}$, если $a, b, c$ — положительные числа.

Решение:

Для решения этой задачи мы выполним следующие шаги:

1. Упорядочим числа $a, b, c$ по возрастанию.

   Из условия задачи нам даны два неравенства: $a < b$ и $c > b$.
   Второе неравенство $c > b$ можно записать в эквивалентном виде: $b < c$.
   Теперь мы можем объединить оба неравенства в одну общую цепочку: $$a < b < c$$ Это означает, что $a$ — наименьшее число, а $c$ — наибольшее.

2. Применим свойство обратных величин для положительных чисел.

   Существует свойство, которое гласит: для любых двух положительных чисел, если одно число меньше другого, то обратная ему величина будет больше.
   Формально: если $x > 0$, $y > 0$ и $x < y$, то $\frac{1}{x} > \frac{1}{y}$.
   Это происходит потому, что функция $f(x)=\frac{1}{x}$ является убывающей для всех $x > 0$.

3. Сравним обратные величины $\frac{1}{a}$, $\frac{1}{b}$ и $\frac{1}{c}$.

   Используя установленный порядок $a < b < c$ и свойство обратных величин, мы можем сравнить заданные выражения:

   • Из $a < b$ следует, что $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$.
   • Из $b < c$ следует, что $\frac{1}{b} > \frac{1}{c}$.
   Объединяя эти два результата, получаем итоговое соотношение: $$\frac{1}{a} > \frac{1}{b} > \frac{1}{c}$$

Таким образом, наименьшим значением является $\frac{1}{c}$, а наибольшим — $\frac{1}{a}$.

Ответ: $\frac{1}{c} < \frac{1}{b} < \frac{1}{a}$.