Номер 3.158, страница 185 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.158. Верно ли, что если:

а) $a > 5$, $b > 6$, то $a + b > 10$;

б) $a < 8$, $b < 2$, $a > 0$, $b > 0$, то $ab < 16$;

в) $a > 3$, $b > 8$, то $ab > 25$?

а) Верно ли, что если $a > 5$, $b > 6$, то $a + b > 10$;

Для решения этой задачи воспользуемся свойством сложения неравенств. Если у нас есть два неравенства одного знака, мы можем их почленно сложить.

Даны неравенства: $$ a > 5 $$ $$ b > 6 $$ Складываем их: $$ a + b > 5 + 6 $$ $$ a + b > 11 $$ Поскольку любое число, которое больше 11, очевидно, больше и 10, то неравенство $a + b > 10$ всегда будет выполняться при заданных условиях.

Ответ: Верно.

б) Верно ли, что если $a < 8$, $b < 2$, $a > 0$, $b > 0$, то $ab < 16$;

Здесь мы используем свойство умножения неравенств. Так как по условию числа $a$ и $b$ положительные ($a > 0, b > 0$), мы можем почленно перемножить неравенства одного знака.

Даны неравенства: $$ a < 8 $$ $$ b < 2 $$ Поскольку $a$ и $b$ положительны, перемножаем их: $$ a \cdot b < 8 \cdot 2 $$ $$ ab < 16 $$ Полученное неравенство в точности совпадает с утверждением в задаче.

Ответ: Верно.

в) Верно ли, что если $a > 3$, $b > 8$, то $ab > 25$?

Как и в предыдущем пункте, воспользуемся свойством умножения неравенств. Поскольку из $a > 3$ следует, что $a$ положительно, и из $b > 8$ следует, что $b$ положительно, мы можем их перемножить.

Даны неравенства: $$ a > 3 $$ $$ b > 8 $$ Перемножаем их: $$ a \cdot b > 3 \cdot 8 $$ $$ ab > 24 $$ Из того, что произведение $ab$ больше 24, не следует, что оно обязательно будет больше 25. Мы можем найти значения $a$ и $b$, которые удовлетворяют исходным условиям, но их произведение не будет больше 25.

Например, выберем значения $a$ и $b$, близкие к 3 и 8 соответственно. Пусть $a = 3.1$ и $b = 8.1$. $$ a > 3 \quad (3.1 > 3) $$ $$ b > 8 \quad (8.1 > 8) $$ Найдем их произведение: $$ ab = 3.1 \cdot 8.1 = 25.11 $$ В этом случае $ab > 25$.

Однако, рассмотрим другой пример. Пусть $a = 3.01$ и $b = 8.1$. $$ ab = 3.01 \cdot 8.1 = 24.381 $$ В этом случае произведение $ab$ больше 24, но $24.381 \ngtr 25$. Таким образом, мы нашли контрпример.

Ответ: Неверно.