Номер 3.167, страница 186 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.167. Известно, что $2 \le n < 8$ и $3 < m < 9$. Оцените:

а) $n+m$;

б) $m-n$;

в) $nm$;

г) $\frac{m}{n}$.

По условию задачи даны два неравенства: $2 \le n < 8$ и $3 < m < 9$. Необходимо оценить значения выражений.

а) n + m;

Для оценки суммы $n+m$ сложим почленно данные неравенства. Чтобы найти нижнюю границу суммы, складываем нижние границы исходных неравенств. Чтобы найти верхнюю границу, складываем верхние.

$\begin{array}{c} \phantom{+} 2 \le n < 8 \\ + \\ \phantom{+} 3 < m < 9 \\\end{array}$
-----------------

$2+3 < n+m < 8+9$

$5 < n+m < 17$

(Неравенство для нижней границы строгое, так как одно из исходных неравенств, $3 < m$, строгое).

Ответ: $5 < n+m < 17$.

б) m - n;

Для оценки разности $m-n$ сначала найдем оценку для $-n$. Умножим неравенство $2 \le n < 8$ на $-1$, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные: $-8 < -n \le -2$.

Теперь сложим неравенства для $m$ и $-n$:

$\begin{array}{c} \phantom{+} 3 < m < 9 \\ + \\ -8 < -n \le -2 \\\end{array}$
-----------------

$3+(-8) < m+(-n) < 9+(-2)$

$-5 < m-n < 7$

(Неравенство для верхней границы строгое, так как неравенство $m < 9$ строгое).

Ответ: $-5 < m-n < 7$.

в) nm;

Так как $n$ и $m$ принимают только положительные значения ($n>0, m>0$), для оценки их произведения $nm$ можно почленно перемножить исходные неравенства:

$\begin{array}{c} \phantom{\times} 2 \le n < 8 \\ \times \\ \phantom{\times} 3 < m < 9 \\\end{array}$
-----------------

$2 \times 3 < n \times m < 8 \times 9$

$6 < nm < 72$

(Неравенство для нижней границы строгое, так как неравенство $3 < m$ строгое).

Ответ: $6 < nm < 72$.

г) $\frac{m}{n}$;

Для оценки частного $\frac{m}{n}$ найдем оценку для обратной величины $\frac{1}{n}$. Из $2 \le n < 8$ и так как $n > 0$, следует, что $\frac{1}{8} < \frac{1}{n} \le \frac{1}{2}$.

Теперь перемножим неравенства для $m$ и $\frac{1}{n}$:

$\begin{array}{c} \phantom{\times} 3 < m < 9 \\ \times \\ \phantom{\times} \frac{1}{8} < \frac{1}{n} \le \frac{1}{2} \\\end{array}$
-----------------

$3 \times \frac{1}{8} < m \times \frac{1}{n} < 9 \times \frac{1}{2}$

$\frac{3}{8} < \frac{m}{n} < \frac{9}{2}$

Поскольку $\frac{9}{2}$ является неправильной дробью, выделим из нее целую часть: $\frac{9}{2} = 4\frac{1}{2}$.

Итоговая оценка: $\frac{3}{8} < \frac{m}{n} < 4\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{8} < \frac{m}{n} < 4\frac{1}{2}$.