Номер 3.173, страница 187 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.173*. Даны три последовательных натуральных числа. Сравните квадрат среднего из них с произведением двух других чисел.

Даны три последовательных натуральных числа. Сравните квадрат среднего из них с произведением двух других чисел.

Для решения задачи представим три последовательных натуральных числа в общем виде. Пусть среднее число равно $n$. Тогда предыдущее число будет $n-1$, а следующее за ним — $n+1$. Таким образом, мы рассматриваем тройку чисел: $n-1$, $n$, $n+1$. Поскольку числа должны быть натуральными, наименьшее из них, $n-1$, должно быть не меньше 1, следовательно, $n \ge 2$.

Теперь выполним требуемые вычисления:

1. Найдем квадрат среднего числа.
   Среднее число в нашей последовательности — это $n$. Его квадрат равен: $$ n^2 $$
2. Найдем произведение двух других чисел.
   Два других числа — это $n-1$ и $n+1$. Их произведение равно: $$ (n-1)(n+1) $$ Используя формулу сокращенного умножения для разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, получаем: $$ (n-1)(n+1) = n^2 - 1^2 = n^2 - 1 $$

Сравнение.
Теперь сравним полученные выражения: квадрат среднего числа ($n^2$) и произведение двух других ($n^2 - 1$). $$ n^2 \quad \text{и} \quad n^2 - 1 $$ Очевидно, что $n^2$ всегда на единицу больше, чем $n^2 - 1$. $$ n^2 > n^2 - 1 $$ Разница между ними составляет: $$ n^2 - (n^2 - 1) = n^2 - n^2 + 1 = 1 $$

Ответ: Квадрат среднего из трех последовательных натуральных чисел на 1 больше произведения двух других чисел.