Номер 3.178, страница 187 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.178. Докажите, что при любом значении переменной верно неравенство:

а) $(a+5)^2 > a(a+10)$;

б) $a^2 + 5 \ge 10(a-2)$.

а) $(a+5)^2 > a(a+10)$

Для доказательства неравенства раскроем скобки в обеих его частях и упростим.

Левую часть раскроем по формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(a+5)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 5 + 5^2 = a^2 + 10a + 25$

Правую часть раскроем, применив распределительный закон:

$a(a+10) = a^2 + 10a$

Теперь подставим преобразованные выражения в исходное неравенство:

$a^2 + 10a + 25 > a^2 + 10a$

Перенесем все слагаемые из правой части в левую с противоположным знаком:

$a^2 + 10a + 25 - a^2 - 10a > 0$

После приведения подобных членов получаем верное числовое неравенство:

$25 > 0$

Так как в результате равносильных преобразований мы получили верное утверждение, то и исходное неравенство верно при любом значении $a$.

Ответ: Неравенство доказано.

б) $a^2 + 5 \ge 10(a-2)$

Для доказательства перенесем все члены в левую часть и преобразуем получившееся выражение.

Раскроем скобки в правой части:

$a^2 + 5 \ge 10a - 20$

Перенесем все члены в левую часть:

$a^2 - 10a + 5 + 20 \ge 0$

Приведем подобные слагаемые:

$a^2 - 10a + 25 \ge 0$

Выражение в левой части является полным квадратом разности, который можно свернуть по формуле $x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$:

$(a-5)^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (то есть больше или равен нулю). Следовательно, полученное неравенство верно для любого значения $a$, а значит, и исходное неравенство верно.

Ответ: Неравенство доказано.