Номер 3.172, страница 187 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.172*. Докажите неравенство:

a) $a^2 + b^2 \ge 2(a+b-1)$;

б) $x^2 - 2xy + 2y^2 \ge 0$.

Доказательство неравенств

а) Докажите неравенство $a^2 + b^2 \ge 2(a + b - 1)$

Для доказательства перенесем все члены из правой части неравенства в левую, изменив их знаки на противоположные:

$a^2 + b^2 - 2(a + b - 1) \ge 0$

Раскроем скобки в левой части:

$a^2 + b^2 - 2a - 2b + 2 \ge 0$

Теперь сгруппируем слагаемые таким образом, чтобы можно было выделить полные квадраты. Для этого представим число $2$ как $1 + 1$:

$(a^2 - 2a + 1) + (b^2 - 2b + 1) \ge 0$

Каждое из выражений в скобках является полным квадратом разности согласно формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Свернем их:

$(a - 1)^2 + (b - 1)^2 \ge 0$

Это неравенство является истинным для любых действительных чисел $a$ и $b$, потому что:

• Квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $(a - 1)^2 \ge 0$.
• Аналогично, $(b - 1)^2 \ge 0$.
• Сумма двух неотрицательных чисел также всегда неотрицательна.

Поскольку все преобразования были равносильными, мы доказали, что исходное неравенство верно.

Ответ: Неравенство доказано.

б) Докажите неравенство $x^2 - 2xy + 2y^2 \ge 0$

Для доказательства преобразуем левую часть неравенства. Представим слагаемое $2y^2$ в виде суммы $y^2 + y^2$:

$x^2 - 2xy + y^2 + y^2 \ge 0$

Сгруппируем первые три члена. Они представляют собой формулу квадрата разности:

$(x^2 - 2xy + y^2) + y^2 \ge 0$

Свернем выражение в скобках:

$(x - y)^2 + y^2 \ge 0$

Полученное неравенство всегда верно для любых действительных чисел $x$ и $y$, так как:

• $(x-y)^2$ является квадратом числа и, следовательно, $(x-y)^2 \ge 0$.
• $y^2$ также является квадратом числа и $y^2 \ge 0$.
• Сумма двух неотрицательных слагаемых $((x-y)^2$ и $y^2$) всегда неотрицательна.

Таким образом, исходное неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.