Номер 3.177, страница 187 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.177. Докажите неравенство:

а) $a^2 + 6a + 9 \ge 0;$

б) $a^2 + 5 > -4a.$

a) $a^2 + 6a + 9 \ge 0$;

Для доказательства данного неравенства рассмотрим его левую часть. Выражение $a^2 + 6a + 9$ представляет собой полный квадрат суммы.

Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В нашем случае $x=a$ и $y=3$. Проверим: $a^2 + 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2 = a^2 + 6a + 9$.

Таким образом, исходное неравенство можно переписать в виде: $(a+3)^2 \ge 0$.

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть он всегда больше или равен нулю. Следовательно, неравенство $(a+3)^2 \ge 0$ справедливо для любого значения $a$.

Ответ: Неравенство доказано, так как его левая часть является полным квадратом $(a+3)^2$, а квадрат любого числа всегда неотрицателен.

б) $a^2 + 5 > -4a$.

Для доказательства перенесем все члены неравенства в левую часть, изменив знак слагаемого $-4a$ на противоположный: $a^2 + 4a + 5 > 0$.

Теперь выделим в левой части полный квадрат. Для этого представим число 5 в виде суммы $4+1$: $a^2 + 4a + 4 + 1 > 0$.

Группа слагаемых $a^2 + 4a + 4$ является полным квадратом суммы $(a+2)^2$. Подставим это в неравенство: $(a+2)^2 + 1 > 0$.

Выражение $(a+2)^2$ как квадрат любого действительного числа всегда неотрицательно, то есть $(a+2)^2 \ge 0$. Если к неотрицательному числу прибавить положительное число 1, то результат всегда будет положительным: $(a+2)^2 + 1 \ge 0 + 1$, следовательно $(a+2)^2 + 1 \ge 1$.

Так как $1 > 0$, то и неравенство $(a+2)^2 + 1 > 0$ справедливо для любого значения $a$.

Ответ: Неравенство доказано. После преобразования оно принимает вид $(a+2)^2 + 1 > 0$, что является верным для любого $a$, так как сумма неотрицательного числа $(a+2)^2$ и положительного числа 1 всегда положительна.