Номер 3.282, страница 220 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.282. Изобразите в тетради график функции, у которой:

а) область определения содержит только положительные числа;

б) множество значений содержит только отрицательные числа;

в) $D(f): -4 \le x \le 5$, а $E(f): -3 \le y \le 4$.

а) область определения содержит только положительные числа

Область определения функции, обозначаемая как $D(f)$, представляет собой множество всех допустимых значений аргумента $x$. Условие, что область определения содержит только положительные числа, означает, что для любой точки $(x, y)$ на графике функции должно выполняться неравенство $x > 0$.

Геометрически это означает, что весь график функции должен быть расположен в правой полуплоскости относительно оси ординат (оси OY), то есть в I и IV координатных четвертях. График не должен пересекать или касаться оси OY.

Пример графика:

В качестве примера можно взять любую кривую или отрезок, полностью лежащий справа от оси OY. Например:

• График функции $y = \ln(x)$, который определён для всех $x > 0$.
• Отрезок прямой, соединяющий точки с положительными абсциссами, например, точки $(1, 2)$ и $(4, 3)$. Областью определения для такого отрезка будет интервал $[1, 5]$, который состоит только из положительных чисел.

Ответ: Любой график, который целиком расположен справа от оси OY. Например, отрезок прямой, соединяющий точки $(1, 2)$ и $(4, 3)$.

б) множество значений содержит только отрицательные числа

Множество значений функции, обозначаемое как $E(f)$, представляет собой множество всех значений, которые принимает функция $y$. Условие, что множество значений содержит только отрицательные числа, означает, что для любой точки $(x, y)$ на графике функции должно выполняться неравенство $y < 0$.

Геометрически это означает, что весь график функции должен быть расположен в нижней полуплоскости относительно оси абсцисс (оси OX), то есть в III и IV координатных четвертях. График не должен пересекать или касаться оси OX.

Пример графика:

В качестве примера можно взять любую кривую или отрезок, полностью лежащий ниже оси OX. Например:

• График параболы $y = -x^2 - 1$. Ее вершина находится в точке $(0, -1)$, и все значения функции меньше или равны -1, то есть отрицательны.
• Отрезок прямой, соединяющий точки с отрицательными ординатами, например, точки $(-3, -1)$ и $(2, -4)$. Множество значений для этого отрезка будет интервал $[-4, -1]$, который состоит только из отрицательных чисел.

Ответ: Любой график, который целиком расположен ниже оси OX. Например, парабола $y = -x^2 - 1$.

в) D(f): $-4 \le x \le 5$, а E(f): $-3 \le y \le 4$

Данные условия определяют границы для графика функции.

1. Область определения $D(f): -4 \le x \le 5$ означает, что график существует только для значений $x$ в промежутке от -4 до 5 включительно. Таким образом, он должен быть заключен между вертикальными прямыми $x = -4$ и $x = 5$.
2. Множество значений $E(f): -3 \le y \le 4$ означает, что все значения $y$ на графике лежат в промежутке от -3 до 4 включительно. Таким образом, он должен быть заключен между горизонтальными прямыми $y = -3$ и $y = 4$.

Следовательно, весь график должен находиться внутри прямоугольника, образованного этими четырьмя прямыми. Кроме того, чтобы множество значений было именно $[-3, 4]$, график должен коснуться как верхней границы ($y=4$), так и нижней ($y=-3$).

Пример графика:

Можно построить ломаную линию, соединяющую несколько точек. Например, рассмотрим ломаную, проходящую через точки $A(-4, 0)$, $B(1, 4)$, $C(3, -3)$ и $D(5, 1)$.

• График начинается при $x=-4$ и заканчивается при $x=5$, поэтому область определения $D(f) = [-4, 5]$.
• Наивысшая точка графика — $B(1, 4)$, поэтому максимальное значение функции равно 4. Низшая точка — $C(3, -3)$, поэтому минимальное значение равно -3. Таким образом, множество значений $E(f) = [-3, 4]$.

Рассмотрим участок ломаной BC. Это отрезок, соединяющий точки $B(1, 4)$ и $C(3, -3)$. Его угловой коэффициент $k$ равен:$k = \frac{-3 - 4}{3 - 1} = \frac{-7}{2}$Это неправильная дробь. Выделим из нее целую часть: $k = \boldsymbol{-3}\frac{1}{2}$.

Ответ: Графиком может служить ломаная линия, соединяющая последовательно точки $A(-4, 0)$, $B(1, 4)$, $C(3, -3)$ и $D(5, 1)$, или любая другая непрерывная линия, которая начинается при $x=-4$, заканчивается при $x=5$, и чьи наименьшее и наибольшее значения равны -3 и 4 соответственно.