Номер 3.285, страница 221 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. Составление уравнения функции.
Если нули функции равны –2 и 6, то простейшая функция, удовлетворяющая этому условию, будет иметь вид: $y = (x - (-2))(x - 6) = (x+2)(x-6)$.

2. Определение типа функции.
Раскроем скобки, чтобы получить стандартный вид квадратичной функции: $y = x^2 - 6x + 2x - 12 = x^2 - 4x - 12$.
Это уравнение параболы. Так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

3. Нахождение ключевых точек для построения.

• Точки пересечения с осью Ox (нули функции): по условию это $(-2, 0)$ и $(6, 0)$.
• Вершина параболы: Абсцисса (координата x) вершины находится посередине между нулями: $x_v = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
  Чтобы найти ординату (координату y) вершины, подставим $x_v = 2$ в уравнение функции: $y_v = (2+2)(2-6) = 4 \cdot (-4) = -16$.
  Таким образом, координаты вершины: $(2, -16)$.
• Точка пересечения с осью Oy: Для этого подставим $x=0$ в уравнение функции: $y = 0^2 - 4 \cdot 0 - 12 = -12$.
  Координаты точки пересечения с осью Oy: $(0, -12)$.

4. Построение графика.
В тетради нужно начертить систему координат, отметить на ней найденные точки: $(-2, 0)$, $(6, 0)$, $(2, -16)$ и $(0, -12)$. Затем плавно соединить эти точки, получив параболу, которая симметрична относительно вертикальной прямой $x=2$.

Ответ: Графиком является парабола с ветвями вверх, пересекающая ось Ox в точках с абсциссами –2 и 6 и имеющая вершину в точке $(2, -16)$.

1. Составление уравнения функции.
Если нули функции равны –5, –1 и 4, то простейшая функция, удовлетворяющая этому условию, будет иметь вид: $y = (x - (-5))(x - (-1))(x - 4) = (x+5)(x+1)(x-4)$.

2. Определение типа функции.
Это кубическая функция. Раскроем скобки для полного представления: $y = (x^2 + x + 5x + 5)(x-4) = (x^2 + 6x + 5)(x-4)$
$y = x^3 - 4x^2 + 6x^2 - 24x + 5x - 20 = x^3 + 2x^2 - 19x - 20$.
График этой функции – кубическая парабола.

3. Нахождение ключевых точек и анализ поведения.

• Точки пересечения с осью Ox (нули функции): по условию это $(-5, 0)$, $(-1, 0)$ и $(4, 0)$.
• Точка пересечения с осью Oy: Подставим $x=0$ в уравнение: $y = (0+5)(0+1)(0-4) = 5 \cdot 1 \cdot (-4) = -20$.
  Координаты точки: $(0, -20)$.
• Поведение функции на интервалах (метод интервалов): Знаки функции будут чередоваться на интервалах, образованных нулями.
  • При $x > 4$, все три множителя $(x+5), (x+1), (x-4)$ положительны, значит $y > 0$ (график выше оси Ox).
  • При $-1 < x < 4$, множитель $(x-4)$ отрицателен, остальные положительны, значит $y < 0$ (график ниже оси Ox).
  • При $-5 < x < -1$, множители $(x+1)$ и $(x-4)$ отрицательны, значит $y > 0$ (график выше оси Ox).
  • При $x < -5$, все три множителя отрицательны, значит $y < 0$ (график ниже оси Ox).

4. Построение графика.
В тетради нужно начертить систему координат. Отметить нули на оси Ox: –5, –1 и 4. Отметить точку пересечения с осью Oy: $(0, -20)$. Основываясь на анализе поведения, нарисовать плавную кривую, которая приходит из нижней левой четверти ($y \to -\infty$ при $x \to -\infty$), пересекает ось Ox в точке -5, достигает локального максимума между -5 и -1, опускается, пересекая ось Ox в точке -1, проходит через точку $(0, -20)$, достигает локального минимума между -1 и 4, и затем поднимается, пересекая ось Ox в точке 4, и уходит в правую верхнюю четверть ($y \to +\infty$ при $x \to +\infty$).

Ответ: Графиком является кубическая кривая, пересекающая ось Ox в точках с абсциссами –5, –1 и 4 и проходящая через точку $(0, -20)$.