Номер 3.318, страница 240 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.318. Найдите область определения и множество значений линейной функции:

а) $y=3x+4$;

б) $y=5-7x$;

в) $y=4x$;

г) $y=-9$.

Область определения функции ($D(y)$) — это множество всех допустимых значений аргумента x, при которых функция имеет смысл.

Множество значений функции ($E(y)$) — это множество всех значений, которые может принимать функция y.

Линейная функция задаётся формулой $y = kx + b$.

• Область определения ($D(y)$): Выражение $kx + b$ имеет смысл при любом действительном значении $x$. Поэтому область определения любой линейной функции — это множество всех действительных чисел, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Множество значений ($E(y)$):
  • Если $k \neq 0$, то функция может принимать любое действительное значение. В этом случае $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
  • Если $k = 0$, функция становится постоянной: $y = b$. Она принимает только одно значение. В этом случае $E(y) = \{b\}$.

а) $y = 3x + 4$

Это линейная функция с коэффициентами $k=3$ и $b=4$.

Область определения: Так как это линейная функция, она определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений: Так как коэффициент $k=3 \neq 0$, функция может принимать любое действительное значение. $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$; множество значений: $(-\infty; +\infty)$.

б) $y = 5 - 7x$

Это линейная функция, которую можно представить в виде $y = -7x + 5$, с коэффициентами $k=-7$ и $b=5$.

Область определения: Функция определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений: Так как коэффициент $k=-7 \neq 0$, функция может принимать любое действительное значение. $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$; множество значений: $(-\infty; +\infty)$.

в) $y = 4x$

Это линейная функция (прямая пропорциональность) с коэффициентами $k=4$ и $b=0$.

Область определения: Функция определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений: Так как коэффициент $k=4 \neq 0$, функция может принимать любое действительное значение. $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$; множество значений: $(-\infty; +\infty)$.

г) $y = -9$

Это линейная функция (постоянная функция) с коэффициентами $k=0$ и $b=-9$.

Область определения: Функция определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений: Так как $k=0$, функция является постоянной. При любом значении $x$, значение $y$ всегда равно -9. $E(y) = \{-9\}$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$; множество значений: $\{-9\}$.