Номер 10, страница 253 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

10. Найдите, при каких значениях $p$ уравнение $px + 5 = 3 + x$ имеет положительный корень.

10. Найдите, при каких значениях p уравнение $px + 5 = 3 + x$ имеет положительный корень.

Для решения задачи необходимо найти корень уравнения и определить, при каких значениях параметра $p$ он будет положительным.

1. Преобразуем исходное уравнение. Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$px - x = 3 - 5$

Вынесем $x$ за скобки:

$(p - 1)x = -2$

2. Данное уравнение является линейным. Рассмотрим два случая:

• Если коэффициент при $x$ равен нулю, то есть $p - 1 = 0 \implies p = 1$. Уравнение принимает вид $0 \cdot x = -2$. Это равенство неверно ни при каком значении $x$, следовательно, при $p=1$ уравнение не имеет корней.
• Если коэффициент при $x$ не равен нулю, то есть $p - 1 \neq 0 \implies p \neq 1$. В этом случае уравнение имеет единственный корень, который можно выразить следующим образом:
  $x = \frac{-2}{p - 1}$

3. По условию задачи, корень $x$ должен быть положительным, то есть $x > 0$. Составим и решим соответствующее неравенство:

$\frac{-2}{p - 1} > 0$

Дробь будет положительной тогда и только тогда, когда ее числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Поскольку числитель (-2) является отрицательным числом, то и знаменатель $(p - 1)$ также должен быть отрицательным:

$p - 1 < 0$

Решая это простое неравенство, получаем:

$p < 1$

Таким образом, для того чтобы уравнение имело положительный корень, должно выполняться условие $p < 1$.

Ответ: уравнение имеет положительный корень при $p \in (-\infty; 1)$.