Номер 4, страница 252 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

Графиком линейной функции, заданной уравнением вида $y = kx + b$, является прямая линия.

Согласно одной из основных аксиом евклидовой геометрии, через любые две различные точки на плоскости можно провести прямую, и притом только одну. Следовательно, для построения графика линейной функции достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих этому графику, отметить их на координатной плоскости и провести через них прямую.

Ответ: Достаточно отметить 2 точки, так как через две точки можно провести единственную прямую.

Для построения каждого графика найдем по две точки, через которые проходит соответствующая прямая.

1. График функции $y=3x-2$

Это прямая. Найдем две точки, составив таблицу значений:

Получаем точки для построения: (0, -2) и (1, 1).

2. График функции $y=-x+4$

Это прямая. Найдем две точки:

Получаем точки для построения: (0, 4) и (4, 0).

3. График функции $y=3x$

Это прямая пропорциональность, график проходит через начало координат. Найдем вторую точку:

Получаем точки для построения: (0, 0) и (1, 3).

4. График функции $y=-2$

Это прямая, параллельная оси абсцисс (Ox), проходящая через точку (0, -2) на оси ординат (Oy). Для любого значения $x$, значение $y$ всегда равно -2.

Возьмем две произвольные точки, например: (0, -2) и (3, -2).

Построение графиков в одной системе координат

Отметим найденные точки и проведем через них прямые.

Ответ: Построение графиков и итоговый чертеж представлены выше.

Рассмотрим две линейные функции, заданные уравнениями $y_1 = k_1x + b_1$ и $y_2 = k_2x + b_2$. Коэффициент $k$ называется угловым коэффициентом и отвечает за наклон прямой, а коэффициент $b$ — свободный член, который показывает точку пересечения прямой с осью Oy.

• Условие параллельности: Графики двух линейных функций параллельны, если их угловые коэффициенты равны, а свободные члены различны.
  Формально: $k_1 = k_2$ и $b_1 \neq b_2$.
  Пример из нашего задания: функции $y=3x$ и $y=3x-2$. Для них $k_1=3$ и $k_2=3$, то есть $k_1 = k_2$. Свободные члены $b_1=0$ и $b_2=-2$ различны. Поэтому графики этих функций параллельны, что мы и видим на чертеже.
• Условие пересечения: Графики двух линейных функций пересекаются, если их угловые коэффициенты не равны.
  Формально: $k_1 \neq k_2$.
  Пример из нашего задания: функции $y=3x-2$ (где $k_1=3$) и $y=-x+4$ (где $k_2=-1$). Так как $k_1 \neq k_2$, графики пересекаются. Найдем их точку пересечения, приравняв правые части уравнений: $$3x - 2 = -x + 4$$ $$3x + x = 4 + 2$$ $$4x = 6$$ $$x = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$$ Подставим найденный $x$ в любое из уравнений, чтобы найти $y$: $$y = -x + 4 = -\frac{3}{2} + 4 = -\frac{3}{2} + \frac{8}{2} = \frac{5}{2}$$ Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(\frac{3}{2}, \frac{5}{2})$.

  Представим координаты в виде смешанных чисел: $(1\frac{1}{2}, 2\frac{1}{2})$.
  Целая часть для абсциссы $x=\frac{3}{2}$ равна 1.
  Целая часть для ординаты $y=\frac{5}{2}$ равна 2.

• Условие совпадения: Если у функций равны и угловые коэффициенты, и свободные члены ($k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$), то графики совпадают, то есть представляют собой одну и ту же прямую.

Ответ: Графики двух линейных функций параллельны, если их угловые коэффициенты равны, а свободные члены — нет. Графики пересекаются, если их угловые коэффициенты различны.