Номер 3.394, страница 250 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.394. Прогулочный теплоход некоторое время движется вверх против течения реки, а затем возвращается обратно. Программа прогулки на теплоходе для туристов предусматривает:

1) рассказ экскурсовода, продолжающийся весь путь вверх против течения;

2) свободное время в музыкальной каюте на обратной дороге.

Скорость течения реки равна $3 \frac{KM}{ч}$. Найдите, какой должна быть собственная скорость теплохода, чтобы рассказ экскурсовода занял по крайней мере $\frac{3}{4}$ всего времени путешествия.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $v_{соб}$ - собственная скорость теплохода (в км/ч). Это искомая величина.
• $v_{теч} = 3$ км/ч - скорость течения реки.
• $S$ - расстояние, пройденное теплоходом в одну сторону (в км).

1. Составление выражений для скорости и времени

Скорость теплохода при движении вверх против течения составляет $v_{против} = v_{соб} - v_{теч} = v_{соб} - 3$ км/ч. Для того чтобы теплоход мог двигаться против течения, его собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $v_{соб} > 3$.

Время, затраченное на путь против течения (это и есть время рассказа экскурсовода), равно $t_{против} = \frac{S}{v_{соб} - 3}$ ч.

Скорость теплохода при движении обратно по течению составляет $v_{по} = v_{соб} + v_{теч} = v_{соб} + 3$ км/ч.

Время, затраченное на обратный путь, равно $t_{по} = \frac{S}{v_{соб} + 3}$ ч.

Общее время путешествия $T_{общ} = t_{против} + t_{по}$.

2. Составление и решение неравенства

Согласно условию, время рассказа экскурсовода должно составлять по крайней мере $\frac{3}{4}$ от всего времени путешествия. Математически это записывается как:

$t_{против} \ge \frac{3}{4} \cdot T_{общ}$

Подставляем $T_{общ} = t_{против} + t_{по}$:

$t_{против} \ge \frac{3}{4} \cdot (t_{против} + t_{по})$

Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от дроби:

$4 \cdot t_{против} \ge 3 \cdot (t_{против} + t_{по})$

$4 \cdot t_{против} \ge 3 \cdot t_{против} + 3 \cdot t_{по}$

$t_{против} \ge 3 \cdot t_{по}$

Теперь подставим выражения для времени, которые мы получили ранее:

$\frac{S}{v_{соб} - 3} \ge \frac{3 \cdot S}{v_{соб} + 3}$

Поскольку расстояние $S$ больше нуля ($S>0$), мы можем разделить обе части неравенства на $S$:

$\frac{1}{v_{соб} - 3} \ge \frac{3}{v_{соб} + 3}$

Так как мы знаем, что $v_{соб} > 3$, оба знаменателя $(v_{соб} - 3)$ и $(v_{соб} + 3)$ положительны. Мы можем умножить обе части на их произведение $(v_{соб} - 3)(v_{соб} + 3)$, не меняя знака неравенства:

$v_{соб} + 3 \ge 3 \cdot (v_{соб} - 3)$

Раскрываем скобки и решаем линейное неравенство:

$v_{соб} + 3 \ge 3v_{соб} - 9$

$12 \ge 2v_{соб}$

$6 \ge v_{соб}$

3. Определение диапазона скоростей

Мы получили два условия для собственной скорости теплохода:

1. $v_{соб} > 3$ км/ч (физическое условие для движения против течения).
2. $v_{соб} \le 6$ км/ч (условие из задачи).

Объединяя эти условия, мы находим, что собственная скорость теплохода должна быть больше 3 км/ч, но не должна превышать 6 км/ч.

Какой должна быть собственная скорость теплохода, чтобы рассказ экскурсовода занял по крайней мере $\frac{3}{4}$ всего времени путешествия. Ответ: Собственная скорость теплохода $v_{соб}$ должна удовлетворять неравенству $3 < v_{соб} \le 6$ (в км/ч). Другими словами, скорость должна быть строго больше 3 км/ч, но не более 6 км/ч.