Номер 3.388, страница 249 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.388. Найдите НОД и НОК чисел 125; 1575; 2025.

Чтобы найти Наибольший Общий Делитель (НОД) и Наименьшее Общее Кратное (НОК) чисел 125, 1575 и 2025, необходимо разложить каждое из них на простые множители.

Выполним разложение:

• $125 = 5 \cdot 25 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3$
• $1575 = 5 \cdot 315 = 5 \cdot 5 \cdot 63 = 5^2 \cdot 9 \cdot 7 = 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^1$
• $2025 = 5 \cdot 405 = 5 \cdot 5 \cdot 81 = 5^2 \cdot 3^4$

НОД

Наибольший общий делитель (НОД) — это произведение общих для всех чисел простых множителей, взятых с наименьшей степенью. Единственный общий простой множитель для чисел 125, 1575 и 2025 — это 5. Наименьшая степень, с которой множитель 5 входит в разложения, это 2 (в числах 1575 и 2025).

Следовательно:

$\text{НОД}(125; 1575; 2025) = 5^2 = 25$

Ответ: 25.

НОК

Наименьшее общее кратное (НОК) — это произведение всех простых множителей, которые встречаются в разложениях, взятых с наибольшей степенью.

Простые множители, которые есть в разложениях: 3, 5, 7. Возьмем их с наибольшими степенями:

• Наибольшая степень для 3 — это $3^4$ (из разложения 2025).
• Наибольшая степень для 5 — это $5^3$ (из разложения 125).
• Наибольшая степень для 7 — это $7^1$ (из разложения 1575).

Теперь перемножим их:

$\text{НОК}(125; 1575; 2025) = 3^4 \cdot 5^3 \cdot 7^1 = 81 \cdot 125 \cdot 7 = 10125 \cdot 7 = 70875$

Ответ: 70875.