Номер 3.383, страница 249 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.383*. Постройте график функции

$y = 2(x-1)^2 + (x+1)^2 - 3(1+x)(x-1) - 2.$

Упрощение функции

Исходная функция задана уравнением: $y = 2(x - 1)^2 + (x + 1)^2 - 3(1 + x)(x - 1) - 2$.

Для построения графика сначала необходимо упростить это выражение. Для этого воспользуемся формулами сокращенного умножения:

• Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Разность квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$

Раскроем скобки в каждом слагаемом поочередно:

1. $2(x - 1)^2 = 2(x^2 - 2x + 1) = 2x^2 - 4x + 2$

2. $(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$

3. $-3(1 + x)(x - 1) = -3(x^2 - 1^2) = -3(x^2 - 1) = -3x^2 + 3$

Теперь подставим полученные выражения обратно в исходное уравнение и приведем подобные слагаемые:

$y = (2x^2 - 4x + 2) + (x^2 + 2x + 1) + (-3x^2 + 3) - 2$

$y = 2x^2 - 4x + 2 + x^2 + 2x + 1 - 3x^2 + 3 - 2$

Сгруппируем слагаемые по степеням переменной $x$:

$y = (2x^2 + x^2 - 3x^2) + (-4x + 2x) + (2 + 1 + 3 - 2)$

Выполним вычисления в скобках:

$y = 0 \cdot x^2 - 2x + 4$

В результате получаем линейную функцию:

$y = -2x + 4$

Ответ: В результате упрощения получена линейная функция $y = -2x + 4$.

Построение графика

Графиком линейной функции $y = -2x + 4$ является прямая. Для ее построения достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих этой прямой.

Удобнее всего найти точки пересечения прямой с осями координат:

• Точка пересечения с осью ординат (Oy):
  Для этого подставим $x=0$ в уравнение функции:
  $y = -2 \cdot 0 + 4 = 4$
  Получаем точку с координатами $(0, 4)$.
• Точка пересечения с осью абсцисс (Ox):
  Для этого подставим $y=0$ в уравнение функции:
  $0 = -2x + 4$
  $2x = 4$
  $x = 2$
  Получаем точку с координатами $(2, 0)$.

Таким образом, график исходной функции — это прямая, проходящая через точки $(0, 4)$ и $(2, 0)$.

Ответ: График функции — это прямая линия, которая описывается уравнением $y = -2x + 4$ и проходит через точку $(0, 4)$ на оси ординат и точку $(2, 0)$ на оси абсцисс.