Номер 3.392, страница 249 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.392. На конференцию по развитию искусственного интеллекта приехали 165 делегатов из разных стран. Из них 70 человек говорят на английском языке, 70 — на китайском, а 35 человек владеют только французским языком. Найдите число делегатов, говорящих и на английском и на китайском языках.

Для решения этой задачи мы будем использовать принципы теории множеств. Обозначим множества делегатов, говорящих на разных языках, следующим образом:

• $U$ - универсальное множество всех делегатов, $|U| = 165$.
• $A$ - множество делегатов, говорящих на английском языке, $|A| = 70$.
• $K$ - множество делегатов, говорящих на китайском языке, $|K| = 70$.
• $F_{только}$ - множество делегатов, говорящих только на французском языке, $|F_{только}| = 35$.

Нам нужно найти количество делегатов, которые говорят и на английском, и на китайском, то есть найти мощность пересечения множеств $A$ и $K$, что обозначается как $|A \cap K|$.

Шаг 1: Определение числа делегатов, говорящих на английском или китайском

Общее число делегатов складывается из тех, кто говорит хотя бы на одном из языков (английский, китайский, французский). Условие, что 35 человек говорят только на французском, означает, что они не входят ни в множество $A$, ни в множество $K$.

Следовательно, все остальные делегаты, кроме этих 35, говорят либо на английском, либо на китайском, либо на обоих языках. Это соответствует объединению множеств $A$ и $K$, то есть $|A \cup K|$.

Чтобы найти это число, вычтем из общего числа делегатов тех, кто говорит только на французском:

$|A \cup K| = |U| - |F_{только}| = 165 - 35 = 130$ человек.

Итак, 130 делегатов говорят хотя бы на одном из двух языков: английском или китайском.

Шаг 2: Использование формулы включений-исключений

Формула включений-исключений для двух множеств гласит:

$|A \cup K| = |A| + |K| - |A \cap K|$

Мы знаем значения $|A \cup K|$, $|A|$ и $|K|$. Нам нужно найти $|A \cap K|$. Выразим его из формулы:

$|A \cap K| = |A| + |K| - |A \cup K|$

Теперь подставим известные нам числовые значения в эту формулу:

$|A \cap K| = 70 + 70 - 130$

$|A \cap K| = 140 - 130 = 10$

Таким образом, 10 делегатов говорят и на английском, и на китайском языках.

Найдите число делегатов, говорящих и на английском и на китайском языках.
Сначала находим общее число делегатов, говорящих на английском или китайском языках (или на обоих), вычитая из общего числа делегатов тех, кто говорит только на французском: $165 - 35 = 130$. Затем, используя формулу включений-исключений, находим количество делегатов, говорящих на обоих языках: $(70 + 70) - 130 = 10$.
Ответ: 10