Номер 2, страница 251 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2. На рисунке 58 изображены графики функций:

а) $y = -2x - 1$;

б) $y = 2x + 1$;

в) $y = -\frac{x}{2} - 1$;

г) $y = \frac{x}{2} - 1$.

Рис. 58

Установите соответствие между формулами функций и их графиками. Какой смысл имеют числа k и b для линейной функции $y=kx+b$?

Для установления соответствия между формулами линейных функций вида $y = kx + b$ и их графиками, необходимо проанализировать коэффициенты $k$ и $b$ для каждой функции.

• Коэффициент $k$ (угловой коэффициент) определяет наклон прямой:
  • Если $k > 0$, функция возрастает (график идет вверх слева направо).
  • Если $k < 0$, функция убывает (график идет вниз слева направо).
  • Чем больше абсолютное значение $|k|$, тем круче наклон прямой.
• Коэффициент $b$ (свободный член) показывает точку пересечения графика с осью ординат (осью Y). Координаты этой точки — $(0, b)$.
  • Если $b > 0$, график пересекает ось Y выше начала координат.
  • Если $b < 0$, график пересекает ось Y ниже начала координат.

Установление соответствия:

а) $y = -2x - 1$
Здесь $k = -2$ и $b = -1$. Так как $k < 0$, функция убывает. Так как $b = -1$, график пересекает ось Y в точке $(0, -1)$. Угловой коэффициент $k = -2$ означает крутой наклон. Этим условиям соответствует график под номером 1.
Ответ: 1

б) $y = 2x + 1$
Здесь $k = 2$ и $b = 1$. Так как $k > 0$, функция возрастает. Так как $b = 1$, график пересекает ось Y в точке $(0, 1)$. Угловой коэффициент $k = 2$ означает крутой наклон. Этим условиям соответствует график под номером 4.
Ответ: 4

в) $y = -\frac{x}{2} - 1$
Эту формулу можно записать как $y = -\frac{1}{2}x - 1$. Здесь $k = -\frac{1}{2}$ и $b = -1$. Так как $k < 0$, функция убывает. Так как $b = -1$, график пересекает ось Y в точке $(0, -1)$. Угловой коэффициент $k = -\frac{1}{2}$ означает пологий наклон. Этим условиям соответствует график под номером 3.
Ответ: 3

г) $y = \frac{x}{2} - 1$
Эту формулу можно записать как $y = \frac{1}{2}x - 1$. Здесь $k = \frac{1}{2}$ и $b = -1$. Так как $k > 0$, функция возрастает. Так как $b = -1$, график пересекает ось Y в точке $(0, -1)$. Угловой коэффициент $k = \frac{1}{2}$ означает пологий наклон. Этим условиям соответствует график под номером 2.
Ответ: 2

Смысл чисел $k$ и $b$ для линейной функции $y = kx + b$

Число $k$ называется угловым коэффициентом. Он показывает тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс (оси X). Геометрически $k$ определяет направление и "крутизну" графика:

• Если $k > 0$, прямая наклонена вправо (образует острый угол с положительным направлением оси X), и функция является возрастающей.
• Если $k < 0$, прямая наклонена влево (образует тупой угол с положительным направлением оси X), и функция является убывающей.
• Чем больше модуль $|k|$, тем круче прямая (ближе к оси Y).

Число $b$ называется свободным членом. Оно показывает ординату точки пересечения графика с осью Y. Иными словами, это значение функции при $x=0$. Координаты этой точки всегда $(0, b)$.

• Если $b > 0$, точка пересечения находится выше оси X.
• Если $b < 0$, точка пересечения находится ниже оси X.
• Если $b = 0$, прямая проходит через начало координат.