Номер 8, страница 252 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

8. Верно ли, что линейное неравенство может не иметь решений? Решите неравенство:

a) $x(x+4) > (x+3)(x+1)$;

б) $x^2 - 4x < (x-2)^2$.

Верно ли, что линейное неравенство может не иметь решений?

Да, утверждение, что линейное неравенство может не иметь решений, является верным.

Линейное неравенство, которое в общем виде записывается как $ax > b$ (или с другими знаками: $<, \ge, \le$), после преобразований может прийти к виду, где коэффициент при переменной $x$ равен нулю. Это выглядит как $0 \cdot x > c$.

• Если полученное числовое неравенство (например, $0 > c$) является верным (например, $0 > -5$), то решением исходного неравенства будет любое число.
• Если же полученное числовое неравенство является ложным (например, $0 > 5$), то это означает, что не существует такого значения $x$, при котором исходное неравенство было бы верным. В этом случае говорят, что неравенство не имеет решений.

Примером такой ситуации является неравенство из пункта а).

Решение неравенств:

a) $x(x+4) > (x+3)(x+1);$
Раскроем скобки в обеих частях неравенства. В левой части умножим $x$ на каждый член в скобках. В правой части перемножим двучлены.
$x \cdot x + x \cdot 4 > x \cdot x + x \cdot 1 + 3 \cdot x + 3 \cdot 1$
$x^2 + 4x > x^2 + x + 3x + 3$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$x^2 + 4x > x^2 + 4x + 3$
Теперь перенесем все слагаемые из правой части в левую с противоположным знаком, чтобы сравнить выражение с нулем:
$x^2 + 4x - x^2 - 4x - 3 > 0$
Сократим подобные члены:
$(x^2 - x^2) + (4x - 4x) - 3 > 0$
$-3 > 0$
Полученное числовое неравенство является ложным. Это означает, что исходное неравенство не выполняется ни при каком значении $x$.
Ответ: решений нет.

б) $x^2 - 4x < (x-2)^2$.
Раскроем скобки в правой части, используя формулу сокращенного умножения "квадрат разности": $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$x^2 - 4x < x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2$
$x^2 - 4x < x^2 - 4x + 4$
Перенесем все слагаемые из правой части в левую с противоположным знаком:
$x^2 - 4x - x^2 + 4x - 4 < 0$
Сократим подобные члены:
$(x^2 - x^2) + (-4x + 4x) - 4 < 0$
$-4 < 0$
Полученное числовое неравенство является верным. Это означает, что исходное неравенство выполняется при любом действительном значении $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$ (любое число).