Номер 2, страница 253 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2. Используя смекалку и элементарные знания об окружающем мире, решите уравнение $29m + 30n + 31k = 366$, где $m$, $n$ и $k$ — натуральные числа.

Данное уравнение $29m + 30n + 31k = 366$, где $m, n, k$ — натуральные числа, является диофантовым уравнением. Ключ к его решению кроется в подсказке: "используя смекалку и элементарные знания об окружающем мире".

Шаг 1: Анализ условия с точки зрения "знаний об окружающем мире"

Обратим внимание на коэффициенты и правую часть уравнения:

• 366 — это количество дней в високосном году.
• 29, 30, 31 — это возможное количество дней в месяцах календарного года. В високосном году один месяц (февраль) имеет 29 дней, четыре месяца — по 30 дней, и семь месяцев — по 31 дню.

Из этого можно сделать вывод, что переменные $m, n, k$ обозначают количество месяцев с 29, 30 и 31 днями соответственно. Поскольку в году 12 месяцев, мы получаем второе, неявное уравнение:

$m + n + k = 12$

Шаг 2: Решение системы уравнений

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с тремя переменными:

1) $29m + 30n + 31k = 366$

2) $m + n + k = 12$

Для решения преобразуем первое уравнение, "центрируя" его вокруг коэффициента 30:

$(30 - 1)m + 30n + (30 + 1)k = 366$

$30m - m + 30n + 30k + k = 366$

Сгруппируем слагаемые:

$30(m + n + k) - m + k = 366$

Теперь подставим в это уравнение выражение из второго уравнения системы ($m + n + k = 12$):

$30(12) - m + k = 366$

$360 - m + k = 366$

$k - m = 366 - 360$

$k - m = 6$ или $k = m + 6$

Шаг 3: Нахождение натуральных решений

Мы получили простое соотношение. Теперь подставим $k = m + 6$ во второе уравнение системы ($m + n + k = 12$):

$m + n + (m + 6) = 12$

$2m + n + 6 = 12$

$2m + n = 6$

Так как по условию $m$ и $n$ — натуральные числа (т.е. $m \geq 1, n \geq 1$), найдём возможные пары $(m, n)$:

• Если $m = 1$, то $2(1) + n = 6 \implies n = 4$. Тогда $k = m + 6 = 1 + 6 = 7$.
  Получаем решение: $(m, n, k) = (1, 4, 7)$. Все числа натуральные.
• Если $m = 2$, то $2(2) + n = 6 \implies n = 2$. Тогда $k = m + 6 = 2 + 6 = 8$.
  Получаем решение: $(m, n, k) = (2, 2, 8)$. Все числа натуральные.
• Если $m = 3$, то $2(3) + n = 6 \implies n = 0$. Но 0 не является натуральным числом, поэтому это решение не подходит.
• При $m > 3$ значение $n$ будет отрицательным, что также не удовлетворяет условию.

Шаг 4: Выбор окончательного ответа

Математически мы получили два возможных решения. Теперь снова применим "смекалку и знания об окружающем мире". Переменная $m$ — это количество месяцев с 29 днями. В любом году (в том числе високосном) такой месяц только один — февраль.

Следовательно, значение $m$ должно быть равно 1. Это отсекает второе математическое решение $(2, 2, 8)$ и оставляет только одно верное решение, полностью соответствующее всем условиям задачи.

Итак, единственное решение:

m: Количество месяцев с 29 днями. Ответ: 1

n: Количество месяцев с 30 днями. Ответ: 4

k: Количество месяцев с 31 днём. Ответ: 7