исследовательское задание, страница 253 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

Увлекательная математика

Исследуем, обобщаем, делаем выводы

Исследовательское задание.

а) Рассмотрим новый способ построения графика линейной функции. Построим график функции $y = \frac{2}{3}x + 1$. Отметим точку $b = 1$ на оси ординат. Так как $k = \frac{2}{3}$, то отложим от точки $(0; 1)$ три клетки вправо и две клетки вверх и отметим точку $(3; 3)$. Проведем прямую через отмеченные точки (рис. 59). Полученная прямая является графиком данной функции. Попробуйте объяснить, почему в алгоритме такие шаги.

Рис. 59

б) Сформулируйте общий алгоритм. Познакомьте друзей с этим способом построения графика линейной функции.

Исследовательское задание: Построение графика линейной функции

Данная задача предлагает исследовать и объяснить метод построения графика линейной функции, основанный на использовании углового коэффициента и точки пересечения с осью ординат.

Алгоритм, описанный в задании, основан на геометрическом смысле коэффициентов в уравнении линейной функции $y = kx + b$.

1. Шаг 1: Отметить точку $b=1$ на оси ординат.
   Коэффициент $b$ в уравнении $y = kx + b$ называется свободным членом и показывает точку пересечения графика с осью ординат (осью $y$). Это происходит, когда значение $x$ равно нулю. Подставим $x=0$ в наше уравнение $y = \frac{2}{3}x + 1$: $y = \frac{2}{3} \cdot 0 + 1 = 0 + 1 = 1$. Таким образом, мы получаем точку с координатами $(0, 1)$, которая точно принадлежит графику. Это наша отправная точка.

2. Шаг 2: Отложить от точки $(0; 1)$ три клетки вправо и две клетки вверх.
   Коэффициент $k$ называется угловым коэффициентом. Он показывает, на сколько единиц изменится значение $y$ при изменении значения $x$ на одну единицу. Его можно представить как отношение изменения по оси $y$ ($\Delta y$) к изменению по оси $x$ ($\Delta x$): $k = \frac{\Delta y}{\Delta x}$ В нашем случае $k = \frac{2}{3}$. Это означает, что при изменении $x$ на 3 единицы ($\Delta x = 3$), значение $y$ изменится на 2 единицы ($\Delta y = 2$).

   • "Три клетки вправо" соответствует увеличению координаты $x$ на 3 (изменение $\Delta x = 3$).
   • "Две клетки вверх" соответствует увеличению координаты $y$ на 2 (изменение $\Delta y = 2$).
   Итак, начав с точки $(0, 1)$, мы находим новую точку, прибавляя эти изменения к её координатам:
   • Новая координата $x = 0 + \Delta x = 0 + 3 = 3$
   • Новая координата $y = 1 + \Delta y = 1 + 2 = 3$
   Мы получили вторую точку графика — $(3, 3)$.
3. Шаг 3: Провести прямую через отмеченные точки.
   Графиком линейной функции является прямая линия. Согласно аксиоме геометрии, через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну. Поэтому, найдя две точки, принадлежащие графику — $(0, 1)$ и $(3, 3)$ — мы можем однозначно построить весь график, проведя через них прямую.

Таким образом, алгоритм использует фундаментальные свойства линейной функции для быстрого и наглядного построения ее графика без необходимости составлять таблицу значений.

Общий алгоритм построения графика линейной функции $y = kx + b$ по угловому коэффициенту:

1. Определить значения коэффициентов $b$ (свободный член) и $k$ (угловой коэффициент) из уравнения функции.
2. На координатной плоскости отметить первую точку — точку пересечения с осью ординат. Её координаты всегда будут $(0, b)$.
3. Представить угловой коэффициент $k$ в виде дроби $k = \frac{m}{n}$. Если $k$ — целое число, его можно записать как $k = \frac{k}{1}$. Если $k$ — отрицательное, минус можно отнести к числителю: $k = \frac{-m}{n}$.
4. От первой точки $(0, b)$ отложить $n$ единиц по горизонтали (вправо, так как $n$ - знаменатель - обычно берется положительным) и $m$ единиц по вертикали (вверх, если $m$ положительно, и вниз, если $m$ отрицательно).
5. Отметить вторую точку. Её координаты будут $(0+n, b+m)$, то есть $(n, b+m)$.
6. Провести прямую через две полученные точки: $(0, b)$ и $(n, b+m)$. Эта прямая и является графиком функции $y = kx + b$.