вопросы, страница 257 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. Запишите три уравнения вида $ax+by=c$, где $x$ и $y$ — переменные, $a$, $b$ и $c$ — некоторые числа. Являются ли записанные уравнения линейными уравнениями с двумя переменными?

2. Пара чисел $(1; -1)$ — решение уравнения $2x - 3y = 5$.

а) Существуют ли другие решения этого уравнения?

б) Является ли пара чисел $(-1; 1)$ решением этого уравнения?

1. Запишите три уравнения вида ax+by=c, где x и y — переменные, a, b и c — некоторые числа. Являются ли записанные уравнения линейными уравнениями с двумя переменными?

Уравнение вида $ax+by=c$ является общим видом линейного уравнения с двумя переменными $x$ и $y$, где $a, b, c$ – это коэффициенты (числа). Приведем три примера таких уравнений, выбрав произвольные значения для коэффициентов:

1. При $a=3, b=5, c=8$ уравнение будет: $3x+5y=8$
2. При $a=1, b=-2, c=0$ уравнение будет: $x-2y=0$
3. При $a=4, b=0, c=-16$ уравнение будет: $4x = -16$ (это также линейное уравнение с двумя переменными, где коэффициент при $y$ равен нулю).

Все записанные уравнения имеют вид $ax+by=c$ и, по определению, являются линейными уравнениями с двумя переменными (при условии, что коэффициенты $a$ и $b$ не равны нулю одновременно).

Ответ: Да, являются.

2. Пара чисел (1; –1) — решение уравнения 2x–3y=5.

а) Существуют ли другие решения этого уравнения?

Да, у линейного уравнения с двумя переменными существует бесконечное множество решений. Чтобы найти другое решение, можно подставить в уравнение произвольное значение для одной из переменных и вычислить значение другой.

Например, выразим $y$ через $x$:

$2x - 3y = 5$

$-3y = 5 - 2x$

$y = \frac{2x - 5}{3}$

Теперь выберем произвольное значение для $x$, например, $x=4$.

$y = \frac{2(4) - 5}{3} = \frac{8-5}{3} = \frac{3}{3} = 1$

Таким образом, пара чисел $(4; 1)$ является еще одним решением этого уравнения. Проверим: $2(4) - 3(1) = 8-3 = 5$. Верно.

Можно найти и решение с дробным значением. Например, при $x=0$:

$y = \frac{2(0) - 5}{3} = -\frac{5}{3}$

Чтобы выделить целую часть из неправильной дроби $-\frac{5}{3}$, делим 5 на 3. Получаем 1 и в остатке 2. Значит, $-\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3}$. Пара $(0; -1\frac{2}{3})$ тоже является решением.

Ответ: Да, существуют.

б) Является ли пара чисел (–1; 1) решением этого уравнения?

Чтобы проверить это, подставим значения $x=-1$ и $y=1$ в левую часть уравнения $2x-3y=5$:

$2 \cdot (-1) - 3 \cdot (1) = -2 - 3 = -5$

Мы получили $-5$, а в правой части уравнения стоит $5$. Так как $-5 \neq 5$, то равенство не выполняется.

Ответ: Нет, не является.