Номер 4.13, страница 259 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.13. Даны два линейных уравнения с двумя переменными: $x - y = 4$ и $x + y = 8$. Найдите пару чисел, которая:

а) является решением первого уравнения, но не является решением второго;

б) является решением второго уравнения, но не является решением первого;

в) является решением и первого и второго уравнений;

г) не является решением ни первого ни второго уравнений.

Даны два линейных уравнения с двумя переменными: $x - y = 4$ и $x + y = 8$.

Необходимо найти пару чисел $(x, y)$ для каждого из следующих случаев.

а) является решением первого уравнения, но не является решением второго;
Для этого нужно подобрать такую пару чисел $(x, y)$, чтобы равенство $x - y = 4$ было верным, а равенство $x + y = 8$ — неверным.
Возьмем, к примеру, $x = 5$. Подставим это значение в первое уравнение, чтобы найти $y$:
$5 - y = 4$
$y = 5 - 4$
$y = 1$
Таким образом, мы получили пару чисел $(5, 1)$. Проверим, подходит ли она под условие:

• Проверка для первого уравнения: $5 - 1 = 4$. Равенство $4 = 4$ верно.
• Проверка для второго уравнения: $5 + 1 = 6$. Равенство $6 = 8$ неверно.

Пара $(5, 1)$ удовлетворяет условию.
Ответ: пара чисел $(5, 1)$.

б) является решением второго уравнения, но не является решением первого;
Теперь нужно подобрать такую пару чисел $(x, y)$, чтобы равенство $x + y = 8$ было верным, а равенство $x - y = 4$ — неверным.
Возьмем, к примеру, $x = 7$. Подставим это значение во второе уравнение:
$7 + y = 8$
$y = 8 - 7$
$y = 1$
Получили пару чисел $(7, 1)$. Проверим ее:

• Проверка для второго уравнения: $7 + 1 = 8$. Равенство $8 = 8$ верно.
• Проверка для первого уравнения: $7 - 1 = 6$. Равенство $6 = 4$ неверно.

Пара $(7, 1)$ удовлетворяет условию.
Ответ: пара чисел $(7, 1)$.

в) является решением и первого и второго уравнений;
В этом случае пара чисел $(x, y)$ должна удовлетворять обоим уравнениям одновременно. Это означает, что нам нужно решить систему уравнений:
$ \begin{cases} x - y = 4 \\ x + y = 8 \end{cases} $
Сложим два уравнения, чтобы исключить переменную $y$:
$(x - y) + (x + y) = 4 + 8$
$2x = 12$
$x = \frac{12}{2} = 6$
Теперь подставим найденное значение $x=6$ в любое из уравнений, например, во второе:
$6 + y = 8$
$y = 8 - 6$
$y = 2$
Таким образом, единственная пара чисел, являющаяся решением обоих уравнений, это $(6, 2)$.
Ответ: пара чисел $(6, 2)$.

г) не является решением ни первого ни второго уравнений.
Здесь нужно подобрать пару чисел $(x, y)$, которая не удовлетворяет ни одному из данных уравнений.
Возьмем простую пару, например, $(1, 1)$. Проверим ее:

• Проверка для первого уравнения: $1 - 1 = 0$. Равенство $0 = 4$ неверно.
• Проверка для второго уравнения: $1 + 1 = 2$. Равенство $2 = 8$ неверно.

Пара $(1, 1)$ не является решением ни первого, ни второго уравнения, следовательно, она удовлетворяет условию. (Можно выбрать любую другую пару, например, $(0, 0)$).
Ответ: пара чисел $(1, 1)$.