Номер 4.14, страница 259 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.14. Для награждения победителей школьной олимпиады приобрели $m$ записных книжек по 3 р. и $n$ фоторамок по 5 р. Вся покупка обошлась в 71 р. Сколько записных книжек было куплено? Найдите все решения.

Для решения задачи необходимо составить и решить уравнение в целых числах. Пусть $m$ — количество купленных записных книжек, а $n$ — количество купленных фоторамок.

Стоимость всех записных книжек составляет $3 \cdot m$ рублей, а стоимость всех фоторамок — $5 \cdot n$ рублей. Согласно условию, общая стоимость покупки равна 71 рублю. Составим уравнение:

$3m + 5n = 71$

Поскольку $m$ и $n$ — это количество предметов, они должны быть целыми и неотрицательными числами.

Выразим переменную $m$, так как нас интересует количество записных книжек:

$3m = 71 - 5n$

$m = \frac{71 - 5n}{3}$

Для того чтобы $m$ было целым числом, выражение $(71 - 5n)$ должно делиться на 3 без остатка. Кроме того, количество книжек не может быть отрицательным ($m \ge 0$), следовательно, $71 - 5n \ge 0$, что дает нам $5n \le 71$, или $n \le 14.2$.

Таким образом, нам нужно найти все целые значения $n$ в диапазоне от 0 до 14, при которых $(71 - 5n)$ кратно 3.

Используя метод перебора или сравнения по модулю 3 ($71 - 5n \equiv 0 \pmod{3}$), находим, что подходящими значениями для $n$ являются: 1, 4, 7, 10, 13.

Теперь найдем соответствующие значения $m$ для каждого случая. Ниже представлены все возможные решения.

Было куплено 22 записные книжки

Это возможно, если было куплено $n=1$ фоторамка. Расчет: $m = \frac{71 - 5 \cdot 1}{3} = \frac{66}{3}$.
Ответ: 22

Было куплено 17 записных книжек

Это возможно, если было куплено $n=4$ фоторамки. Расчет: $m = \frac{71 - 5 \cdot 4}{3} = \frac{51}{3}$.
Ответ: 17

Было куплено 12 записных книжек

Это возможно, если было куплено $n=7$ фоторамок. Расчет: $m = \frac{71 - 5 \cdot 7}{3} = \frac{36}{3}$.
Ответ: 12

Было куплено 7 записных книжек

Это возможно, если было куплено $n=10$ фоторамок. Расчет: $m = \frac{71 - 5 \cdot 10}{3} = \frac{21}{3}$.
Ответ: 7

Было куплено 2 записные книжки

Это возможно, если было куплено $n=13$ фоторамок. Расчет: $m = \frac{71 - 5 \cdot 13}{3} = \frac{6}{3}$.
Ответ: 2