Номер 4.15, страница 260 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.15. За каждый час работы в кафе студенту платят 9 р. и высчитывают 2 р. за каждую разбитую тарелку. За семь рабочих дней он заработал 170 р. Сколько всего часов он отработал и сколько разбил тарелок, если он работает не более 3 ч в день?

Для решения задачи введем переменные и составим уравнения на основе данных из условия.

Пусть:

• $h$ — общее количество часов, отработанных студентом за 7 дней.
• $p$ — общее количество тарелок, разбитых студентом за 7 дней.

Заработок студента формируется из оплаты за отработанные часы (9 р. за час) и вычета за разбитые тарелки (2 р. за тарелку). Общий заработок составил 170 р. Это можно выразить следующим уравнением: $$9h - 2p = 170$$

Также в задаче есть ограничение: студент работает не более 3 часов в день. Поскольку он работал 7 дней, максимальное количество часов, которое он мог отработать, составляет: $$7 \text{ дней} \times 3 \text{ ч/день} = 21 \text{ час}$$ Следовательно, $h \le 21$.

Теперь решим уравнение $9h - 2p = 170$ относительно переменных $h$ и $p$, которые должны быть целыми неотрицательными числами. Выразим $p$ через $h$: $$2p = 9h - 170$$ $$p = \frac{9h - 170}{2}$$

Поскольку $p$ (количество тарелок) должно быть целым числом, числитель $(9h - 170)$ должен быть четным. Так как 9 — нечетное число, то и $h$ должно быть четным числом, чтобы их произведение $9h$ было четным.

Кроме того, количество тарелок не может быть отрицательным, то есть $p \ge 0$. Отсюда следует: $$9h - 170 \ge 0 \implies 9h \ge 170 \implies h \ge \frac{170}{9}$$

Чтобы найти минимальное значение для $h$, преобразуем неправильную дробь $\frac{170}{9}$ в смешанное число. При делении 170 на 9 получаем 18 и 8 в остатке: $$\frac{170}{9} = 18\frac{8}{9}$$ Таким образом, количество часов $h$ должно быть не меньше $18\frac{8}{9}$.

Итак, мы имеем три условия для $h$:

1. $h \le 21$ (ограничение по рабочему времени).
2. $h \ge 18\frac{8}{9}$ (условие неотрицательности количества тарелок).
3. $h$ — четное число.

Единственное четное целое число, находящееся в диапазоне от $18\frac{8}{9}$ до 21, — это 20. Таким образом, общее количество отработанных часов $h = 20$.

Теперь найдем количество разбитых тарелок $p$, подставив $h=20$ в нашу формулу: $$p = \frac{9 \times 20 - 170}{2} = \frac{180 - 170}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

Проверим наши вычисления: $9 \times 20 - 2 \times 5 = 180 - 10 = 170$. Все верно.

Сколько всего часов он отработал Ответ: 20.

Сколько разбил тарелок Ответ: 5.