Номер 4.16, страница 260 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.16. Периметр равнобедренного треугольника равен 16 см. Чему могут быть равны длины боковой стороны и основания, если они выражаются целыми числами?

Пусть в равнобедренном треугольнике боковая сторона имеет длину $a$ см, а основание — $b$ см. Поскольку стороны должны выражаться целыми числами, $a$ и $b$ — натуральные числа.

Периметр треугольника $P$ вычисляется по формуле: $P = a + a + b = 2a + b$

По условию задачи, периметр равен 16 см: $2a + b = 16$

Из этого уравнения выразим длину основания $b$: $b = 16 - 2a$

Для того чтобы треугольник с такими сторонами мог существовать, должно выполняться неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны.

1. $a + b > a \implies b > 0$. Длина основания должна быть положительной.
2. $a + a > b \implies 2a > b$. Сумма длин боковых сторон должна быть больше основания.

Применим эти два ограничения к нашему уравнению.

Из условия $b > 0$: $16 - 2a > 0$ $16 > 2a$ $a < 8$

Из условия $2a > b$: $2a > 16 - 2a$ $4a > 16$ $a > 4$

Таким образом, длина боковой стороны $a$ должна быть целым числом, удовлетворяющим двойному неравенству: $4 < a < 8$. Этому условию удовлетворяют следующие целые числа: 5, 6, 7.

Рассмотрим все возможные варианты: