Номер 1.15, страница 8 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

1.15. С помощью циркуля постройте окружность с центром:

а) в точке $O$ и радиусом 2 см. Определите, какие из точек, находящихся на расстояниях $OA = 3$ см, $OB = 2$ см, $OC = 1,5$ см, $OK = 4$ см, лежат на окружности, а какие — вне окружности;

б) в точке $O$ и радиусом 3 см. Определите, какие из точек, находящихся на расстояниях $ON = 4$ см, $OK = 1,5$ см, $OF = 1$ см, $OP = 3$ см, лежат на окружности, а какие — внутри окружности.

а)

Сначала построим окружность. Для этого установим иглу циркуля в точку О, которая будет центром окружности. С помощью линейки отмерим и установим расстояние между ножками циркуля, равное радиусу $R = 2$ см. Затем, не меняя раствора циркуля, проведем замкнутую кривую. Эта кривая и есть окружность с центром в точке О и радиусом 2 см.

Теперь определим положение заданных точек относительно этой окружности. Для этого сравним расстояние от каждой точки до центра О с радиусом окружности $R = 2$ см.

• Точка лежит на окружности, если расстояние от нее до центра равно радиусу ($d = R$).
• Точка лежит вне окружности, если расстояние от нее до центра больше радиуса ($d > R$).
• Точка лежит внутри окружности, если расстояние от нее до центра меньше радиуса ($d < R$).

Проверим каждую точку:

• Для точки А: дано расстояние $OA = 3$ см. Сравниваем с радиусом: $3 \text{ см} > 2 \text{ см}$, то есть $OA > R$. Следовательно, точка А лежит вне окружности.
• Для точки B: дано расстояние $OB = 2$ см. Сравниваем с радиусом: $2 \text{ см} = 2 \text{ см}$, то есть $OB = R$. Следовательно, точка B лежит на окружности.
• Для точки C: дано расстояние $OC = 1,5$ см. Сравниваем с радиусом: $1,5 \text{ см} < 2 \text{ см}$, то есть $OC < R$. Следовательно, точка C лежит внутри окружности.
• Для точки K: дано расстояние $OK = 4$ см. Сравниваем с радиусом: $4 \text{ см} > 2 \text{ см}$, то есть $OK > R$. Следовательно, точка K лежит вне окружности.

Таким образом, на окружности лежит точка B, а вне окружности — точки A и K.

Ответ: На окружности лежит точка В. Вне окружности лежат точки А и К.

б)

Построим окружность с центром в точке О и новым радиусом $R = 3$ см. Алгоритм построения тот же: игла циркуля в центре О, раствор циркуля равен 3 см.

Теперь определим положение заданных точек относительно этой новой окружности, сравнивая расстояние от каждой точки до центра О с радиусом $R = 3$ см. В этом пункте нас интересует, какие точки лежат на окружности, а какие — внутри.

Проверим каждую точку:

• Для точки N: дано расстояние $ON = 4$ см. Сравниваем с радиусом: $4 \text{ см} > 3 \text{ см}$, то есть $ON > R$. Следовательно, точка N лежит вне окружности.
• Для точки K: дано расстояние $OK = 1,5$ см. Сравниваем с радиусом: $1,5 \text{ см} < 3 \text{ см}$, то есть $OK < R$. Следовательно, точка K лежит внутри окружности.
• Для точки F: дано расстояние $OF = 1$ см. Сравниваем с радиусом: $1 \text{ см} < 3 \text{ см}$, то есть $OF < R$. Следовательно, точка F лежит внутри окружности.
• Для точки P: дано расстояние $OP = 3$ см. Сравниваем с радиусом: $3 \text{ см} = 3 \text{ см}$, то есть $OP = R$. Следовательно, точка P лежит на окружности.

Таким образом, на окружности лежит точка P, а внутри окружности — точки K и F.

Ответ: На окружности лежит точка P. Внутри окружности лежат точки K и F.