Номер 1.10, страница 6 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

1.10. Постройте в тетради:

a) две перпендикулярные прямые. Определите сколько прямых углов получилось;

б) две прямые, перпендикулярные третьей. Каково взаимное расположение двух первых прямых?

а)

Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. Прямой угол — это угол, равный $90^\circ$.

Пусть у нас есть две перпендикулярные прямые, назовем их a и b. Факт их перпендикулярности записывается как $a \perp b$.

При пересечении двух любых прямых образуется четыре угла. Рассмотрим углы, которые образуются при пересечении прямых a и b. Обозначим их как $\angle 1$, $\angle 2$, $\angle 3$ и $\angle 4$.

По определению перпендикулярных прямых, один из этих углов равен $90^\circ$. Пусть это будет $\angle 1 = 90^\circ$.

Углы $\angle 1$ и $\angle 3$ являются вертикальными, а значит, они равны. Следовательно, $\angle 3 = \angle 1 = 90^\circ$.

Углы $\angle 1$ и $\angle 2$ являются смежными, их сумма равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle 2 = 180^\circ - \angle 1 = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Углы $\angle 2$ и $\angle 4$ также являются вертикальными, поэтому они равны. Следовательно, $\angle 4 = \angle 2 = 90^\circ$.

Таким образом, все четыре угла, образовавшиеся при пересечении двух перпендикулярных прямых, являются прямыми.

Ответ: получилось 4 прямых угла.

б)

Пусть даны три прямые на плоскости: a, b и c. По условию задачи, первая прямая перпендикулярна третьей ($a \perp c$) и вторая прямая перпендикулярна третьей ($b \perp c$).

В евклидовой геометрии существует теорема: если две прямые на плоскости перпендикулярны одной и той же третьей прямой, то эти две прямые параллельны друг другу.

Докажем это. Прямая c является секущей по отношению к прямым a и b. При пересечении прямой a с прямой c образуется прямой угол ($90^\circ$). При пересечении прямой b с прямой c также образуется прямой угол ($90^\circ$).

Эти два прямых угла являются соответственными углами при секущей c. Согласно признаку параллельности двух прямых, если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Так как оба угла равны $90^\circ$, то прямые a и b параллельны. Это записывается как $a \parallel b$.

Следовательно, взаимное расположение двух первых прямых — они параллельны.

Ответ: две первые прямые параллельны друг другу.