Номер 11.2, страница 26 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

11.2. Основание равнобедренного треугольника вдвое больше проведенной к нему высоты. Определите углы этого треугольника.

11.2.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB=BC$. Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ к основанию $AC$.

По условию задачи, длина основания вдвое больше длины высоты, проведенной к нему. Запишем это соотношение: $AC = 2 \cdot BH$.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Это означает, что точка $H$ является серединой основания $AC$. Следовательно, она делит основание на два равных отрезка: $AH = HC = \frac{AC}{2}$.

Подставим в это равенство данное нам условие $AC = 2 \cdot BH$: $AH = \frac{2 \cdot BH}{2} = BH$.

Рассмотрим треугольник $ABH$. Так как $BH$ — высота, то угол $\angle AHB$ прямой, $\angle AHB = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $ABH$ — прямоугольный. Мы выяснили, что его катеты $AH$ и $BH$ равны. Это означает, что треугольник $ABH$ является равнобедренным прямоугольным треугольником.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике острые углы равны и их сумма составляет $90^\circ$. Следовательно: $\angle BAH = \angle ABH = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Теперь определим углы исходного треугольника $ABC$:

• Угол при основании $\angle BAC$ совпадает с углом $\angle BAH$, поэтому $\angle BAC = 45^\circ$.
• В равнобедренном треугольнике $ABC$ углы при основании равны, значит $\angle BCA = \angle BAC = 45^\circ$.
• Высота $BH$ в равнобедренном треугольнике является также и биссектрисой угла при вершине. Поэтому угол $\angle ABC$ вдвое больше угла $\angle ABH$: $\angle ABC = 2 \cdot \angle ABH = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ$.

Таким образом, углы треугольника равны $45^\circ$, $90^\circ$ и $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$, $90^\circ$, $45^\circ$.