Номер 11.5, страница 26 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

11.5. Прямая, перпендикулярная биссектрисе угла $A$, пересекает стороны угла в точках $M$ и $N$. Докажите, что треугольник $AMN$ равнобедренный.

11.5. Пусть дан угол с вершиной в точке $A$, стороны которого пересекаются прямой в точках $M$ и $N$, образуя треугольник $AMN$. Пусть $l$ — биссектриса угла $\angle MAN$. По условию, прямая $MN$ перпендикулярна биссектрисе $l$. Обозначим точку их пересечения как $K$.

Рассмотрим треугольник $AMN$ и отрезок $AK$, который является частью биссектрисы $l$. Мы должны доказать, что $\triangle AMN$ является равнобедренным. Для этого докажем равенство треугольников $\triangle AKM$ и $\triangle AKN$.

Сравним эти два треугольника:
1. $\angle MAK = \angle NAK$, так как отрезок $AK$ лежит на биссектрисе угла $A$.
2. Сторона $AK$ является общей для обоих треугольников.
3. $\angle AKM = \angle AKN = 90^\circ$, так как по условию прямая $MN$ перпендикулярна биссектрисе, на которой лежит отрезок $AK$.

Таким образом, треугольники $\triangle AKM$ и $\triangle AKN$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В частности, сторона $AM$, лежащая напротив угла $\angle AKM$, равна стороне $AN$, лежащей напротив равного ему угла $\angle AKN$. $$ AM = AN $$

Поскольку в треугольнике $AMN$ две стороны равны, он является равнобедренным по определению. Что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник $AMN$ является равнобедренным.